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高数电子教案第二版教学课件作者李心灿Z0205课件.PPT
* 第五节 函数的连续性 一、函数的增量 二、连续函数的概念 三、函数的间断点及其分类 一、函数的增量 定义 设变量u从它的一个值u1变到另一个值u2 ，其差 称做变量u的增量或改变量，记作 ，即 增量 可以是正的，也可以是负的.当 为正时，变量u从u1变到 是增大的；当 为负时，变量u从 u1变到 是减少的. 例1 设正方形的边长为x.当x取得增量 时，问面积y相应的增量 是多少？当x由2m变为2.05m时，面积改变了多少？当x由2m变到1.95m时，面积改变了多少？ 解 二、连续函数的概念 定义 设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数增量 也趋于零，即 则称函数y=f(x)在点x0处连续. 注意： 定义 如果 则称函数 f(x)在点x0左连续. 如果 则称函数 f(x)在点x0右连续. 定理2.15 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续. 如果函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在(a,b)内连续，并且在左端点a处右连续，右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续. 函数在区间I上连续，称它是I上的连续函数. 可以证明：基本初等函数在其定义域内为连续函数. 函数f(x)在点x0处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f( x0)) 处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间I上连续，其图形是一条连接不断的曲线. 例2 解 由定理2.15知f(x)在x=0 点连续. 三、函数的间断点及其分类 定义 例3 正切函数y=tan x在点 处无定义，所以点 是函数tan x的间断点. 但是极限 不存在，所以x=0是函数f(x)的间断点. 例4 例5 函数 在x=1处无定义，因此x=1是该函数的间断点. 在x=0是否为函数f(x)的间断点. 例6 解 即x=0是函数f(x)的间断点. 在点x=0处的连续性. 故x=0是函数f(x)的间断点. 例7 解 * *
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