高数电子教案第二版教学课件作者李心灿Z0204课件.PPT

* 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小及其性质 二、无穷小的比较 三、无穷大 四、无穷小与无穷大的关系 定义 若 则称函数f(x)在 时为无穷小量，简称无穷小. 一、无穷小的性质 注意： 1.要指明自变量的变化过程(如 )； 2.在这个过程中，函数f(x)以0为极限. 应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数. 例1 根据极限的性质和四则运算法则，可以证明下列有关无穷小的性质. 定理2.9 有限个无穷小的代数和仍为无穷小. 定理2.10 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. 推论 常量与无穷小之积为无穷小. 定理2.11 有限个无穷小之积为无穷小. 例2 证 注意： 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为 不存在. 定理2.12 函数有极限，可以通过无穷小来表述. 证 常称这个定理为极限基本定理，它有相当广泛的应用. 二、无穷小的比较 两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子. 这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，我们引入无穷小量阶的概念. 定义 同阶无穷小. 例3 例4 如果 是比 高阶的无穷小，也可以称 是比 低阶的无穷小 . 关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理. 定理2.13 证 根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算. 用定理2.13求极限，需要预先知道一些等价无穷小.例如常用的有下列： 例5 解 例6 解 例7 解 注意： 相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加(减)的无穷小的项不能作等价代换，例如 * *