高数电子教案第二版教学课件作者李心灿Z0201课件.PPT

* 一、数列的概念 二、数列的极限 三、收敛数列的性质 第一节 数列的极限 一、数列的概念 定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数 称为数列.通常称 为数列的第一项， 为第二项，一般地，将第n项 称为通项或一般项.数列可用通项简记为 . 例1 例2 例3 例4 例5 数列 可以理解为正整数n的函数， 因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集. 单调增加的； 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列. 单调减少的. 若有 例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有 成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的. 在几何上，通常用数轴上的点列 来表示数列 . 这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列 是自左向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点. 二、数列的极限 我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限思想的体现. 数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示. 例如 对于　　　　 　 来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势. 当n“充分大”时， “无限接近于1”； 当n“充分大时”， 　“无限接近于0”. 一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大时， 以为a极限，记成 当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？ 以 为例来讨论数列极限的含义. 前面已经看到： 当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1. 也就是对于任意给定的正数 ， 都可小于 . 所谓xn无限地趋于1，就是说 可以任意小. 比如 ，欲使 而 任意小的前提条件是n充分大. 只需n100. 只需n1000. 欲使 一般来说，对于任意给定的正数，欲使 这样，就定量地刻画了当 时， 以1为极限的这一事实.下面给出数列极限的精确定义. 定义 设有 ，a是常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数N，使当nN时，都有 成立.则称数列 当n趋于无穷大时以a为极限，记作 数列 有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的. 例6 证 证 当q=0时，等式显然成立. 当0|q|1时，对任意给定的正数 (不妨设 1). 例7 证 对于任意给定的正数 (不妨设0 1)，由于 例8 三、收敛数列的性质 数列收敛于a的几何意义如下： 　　当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一个邻域 ，都存在一个序号N，使得点列 的第N个点 以后的所有点 都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a的这个邻域之内，或者说至多有N个点 落在区间 之外. * *