高数电子教案第二版教学课件作者李心灿Z0103课件.PPTVIP

* 第三节 函数的几种特性 一、有界性 二、单调性 三、奇偶性 四、周期性 一、有界性 设函数y=f(x)的定义域为D，数集 ，如果存在正数M，使得对于任意的 ，都有不等式 成立，则称f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界. 如果M为f(x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界. 如果f(x)在X上无界，那么对于任意一个给定的正数M，X中总有相应的点 ，使 . 当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y= –Ｍ之间. 这里取Ｍ=1. 函数y=sinx的图形位于直线y=1与y= –1之间. 例如，函数f(x)=sinx在　　　 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立， 应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围Ｘ. 例如，函数 在区间(1,2)内是有界的. 事实上，若取Ｍ=1，则对于任何 而 在区间(0,1)内是无界的. 二、单调性 设函数y=f(x)在区间I上有定义(即Ｉ是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的 ，当 时，均有 则称函数y=f(x)在区间Ｉ上单调增加(或单调减少). 则称函数y=f(x)在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少). 如果对于区间I上任意两点 ，当 均有 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的； 例如，函数 内是严格单调增加的. 函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数. 三、奇偶性 设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当 时，有 . 则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称； 如果对于任意的 ，均有 如果对任意的 ,均有 就称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称. 例1 讨论下列函数的奇偶性: 解 在常见的函数中，sinx是奇函数，cosx是偶函数. 当n为偶数时，函数 是偶函数; 当n为奇数时，函数 是奇函数. 设函数y=f (x), 如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何x均有 f (x + T)=f (x) 显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就是指最小周期. 四、周期性 成立，则称函数y=f (x)为周期函数，T为f (x)的周期. * *