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高数电子教案第二版教学课件作者李心灿Z0102课件.PPT
* 第二节 函数及其表示法 一、变量与常量 二、函数的概念 三、函数的表示法 一、变量与常量 如果一个量在某个过程中是变化的,即可以取不同的数值,则称这种量为变量;如果一个量在某过程中保持不变,总取同一值,则称这种量为常量.变量通常用x,y,t, 表示,常量通常用a,b,c, 表示. 二、函数的概念 变量与变量之间的依赖关系是高等数学研究的主要问题.先看下面的例子. 其中g是重力加速度,假定物体着地时刻为t=T,那么当时间t在闭区间[0,T]上任取一值时,由上式就可以确定相应的s值. 例1 自由落体运动.设物体下落的时间为t,下落的距离为s,假定开始下落的时刻为t=0,那么s与t之间的依赖关系由下式给定: 当自变量x取数值 时,与 对应的因变量y的值称为函数y=f(x)在点 处的函数值,记为 ,或 .当x取遍X的各个数值时,对应的变量y取值的全体组成数集称做这个函数的值域. 定义 设x与y是两个变量,X是实数集R的某个子集.如果对任何的 ,变量y按照一定的规律,有确定的数值与之对应,则称y是x的函数,记作 两个变量之间的这种依赖关系称为函数关系. 称X为该函数的定义域.称x为自变量,称y为因变量. y=f(x) 在函数y=f(x)中记号f表示自变量x与因变量y的对应规则,也可用 等.如果两个函数的定义域相同,并且对应规则也相同(从而值域也相同),那么它们就应该用同一个记号来表示. 在实际问题中,函数的定义域是由实际意义确定的.如例1中的定义域为[0,T],例2中的定义域为 在研究由公式表达的函数时,我们约定:函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.例如, 的定义域是[–1,1],函数 的定义域是(–1,1). 例3 解 例4 求函数 的定义域. 所以函数的定义域为 与 . 解 要使函数y有定义,必须使 这两个不等式的公共解为 例5 解 例6 解 例如y=2x是单值函数; 如果自变量在定义域内任取一个值时,对应的函数值只有一个,这种函数称为单值函数,否则称为多值函数. 由方程 可确定 .任取 . y就有两个值与其对应,因此这里的y是x的多值函数, 但是可以把它分成两个单值函数(或称单值分支) 和 . 以后凡没有特别特别说明,本书讨论的函数都是指单值函数. 设函数y=f(x)的定义域为X.在平面直角坐标系Oxy中,对于任意的 ,通过函数y=f(x)都可确定一个点M(x,y),当x取遍定义域X中的所有值时,点M(x,y)描出的图形称为函数y=f(x)的图形.一个函数的图形通常是一条曲线.因此,又称函数y=f(x) 的图形为曲线y=f(x). * *
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