第四章直梁的弯曲讲述.ppt

* * 小 结 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法. 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用. 3、了解提高梁强度的主要措施. * §4-8 梁的弯曲变形 7-1 * §4-8 梁的弯曲变形 * §4-8 梁的弯曲变形 * 一.梁的弹性曲线,挠度和转角 挠曲线方程： 由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 挠度转角关系为： 挠曲线 挠度 转角 挠度y：截面形心在y方向的位移 向上为正 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆时针为正 7-2 * 二.弹性曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 忽略剪力对变形的影响 * 由数学知识可知： 略去高阶小量，得 所以 * 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。 * 挠曲线的近似微分方程为： 积分一次得转角方程为： 再积分一次得挠度方程为： 7-3 * 积分常数C、D 由梁的边界条件确定。 边界条件 －弹簧变形 * 例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。 解 1）由梁的整体平衡分析可得： 2）写出x截面的弯矩方程 3）列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 A B F * 4）由边界条件确定积分常数 代入求解 5）确定转角方程和挠度方程 6）确定最大转角和最大挠度 A B F * 例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。 解 1）由梁整体平衡分析得： 2）弯矩方程 AC 段： CB 段： * 3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： CB 段： 目录 * 4）由边界条件确定积分常数 代入求解，得 位移边界条件 光滑连续条件 * 5）确定转角方程和挠度方程 AC 段： CB 段： * 6）确定最大转角和最大挠度 令 得， 令 得， * 积分法求梁变形 ①适用于小变形、弹性材料、细长构件的平面弯曲 ②可应用于各种载荷的等截面或变截面梁的变形 ③积分常数由挠曲线变形的边界条件确定 ④优点——使用范围广，精确； 缺点——计算较繁 * 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为 ，挠度为y，则有： 若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为 ，挠度为 ，则有： 由弯矩的叠加原理知： 所以， 7-4 三. 用叠加法求梁的变形 * 故 由于梁的边界条件不变，因此 重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。 * 例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角?B 1）将梁上的载荷分解 yC1 yC2 2）查表得2种情形下 C 截面的挠度和 B 截面的转角。 解 * 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 yC1 yC2 * 1.刚度条件 建筑钢梁的许可挠度： 机械传动轴的许可转角： 精密机床的许可转角： 7-5 四.梁的刚度校核和提高梁弯曲刚度的措施 * 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。 B 1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为： 解 例5 已知钢制圆轴左端受力为F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角?θ? =0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。 * 例5 已知钢制圆轴左端受力为F＝20 kN，a＝l m，l＝2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角?θ? =0.5°。根据刚度要求确定轴的直径d。 B 2）由刚度条件确定轴的直径： * 2.提高梁刚度的措施 1）选择合理的截面形状 * 2）改善结构形式，减少弯矩数值 改变支座形式 * 2）改善结构形式，减少弯矩数值 改变载荷类型 * 一、实验观察和假设推论 研究对象：等截面直梁 研究方法：实验——观察——假设 梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－ 纯弯曲 * 实验现象: 1、横线仍是直线，但发生相对转动，仍与纵线正交； 2、纵线弯成曲线，且梁的下侧伸长，上侧缩短； 3、横截面的高度不变，宽度在上部略为增大，下部 略为缩小。 * 假设： 1、平面假设：横截面变形后保持