第十六讲希尔伯特变换和解析过程讲述.ppt

军用PKI体系结构及其关键技术 西安电子科技大学通信工程学院 可见，若x(t)若为t的偶函数，则 为t的奇函数。 同理，可见，若x(t)若为t的奇函数，则 为t的偶函数。 希尔伯特变换的性质 * 主要内容 3.1 线性系统基本理论 3.2 随机信号通过连续时间系统的分析 3.3 随机信号通过离散时间系统的分析 3.4 白噪声通过线性系统和等效噪声带宽 3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示方法 3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性 1 希尔伯特变换 ，其希尔伯特 设有一个实值函数 （或记作 ） 变换记作 反变换为 希尔伯特 * * 希尔伯特变换 ←→ 正交滤波器 由 可知， 的希尔伯特变换看成是：将 通过一个具有冲击响应为 的线性滤波器（时不变系统） 。 * * 希尔伯特变换的冲击响应及传递函数 证明：由对称性性质可知，若 ，则 因为 ，所以 整理得： * * 正交滤波器的传输函数 * * 希尔伯特逆变换 为希尔伯特逆变换的单位冲击响应。 证明： 若输入信号为 通过一个滤波器 输出为 显然有 所以 反变换 1. 的希尔伯特变换为 。 连续两次希尔伯特变换相当于连续两次90度相 移，正好180度相反。 2 解析过程及其性质 定义任一实随机过程 ， 是 的希尔伯特变换, 即 复随机过程定义为 为实随机过程 的复解析过程，简称解析过程。 解析过程的性质 （1）若 为实平稳随机过程，则 也是实随 机平稳过程，且联合平稳。 因为希尔伯特变换是线性变换，线性系统 输入为平稳过程，输出也为平稳过程，且联合 平稳。 （2）实函数与其希尔伯特变换的相关函数和功率谱相同 经傅里叶反变换，得 （3） 代入 令 将 （4） （5） 令 并作变量替换 希尔伯特变换与它的原实过程之间的互相关函数为奇函数 （6） 表明在同一个时刻t，随机变量 和 正交，即 注意，上式并不意味着 和 两个随机过程正交。 （7） （8） 由性质（3）可知， 两边取傅里叶变换 （9） 由性质（7）可知， 两边取傅里叶变换 解析过程的功率谱密度只存在于正频率，即它具有单边功率谱密度，其强度等于原来实过程功率谱密度强度的4倍。 * *