2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积试题 理 北师大版.docVIP

第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积试题 理 北师大版 1．向量的夹角 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角． 2．平面向量的数量积 定义 已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|·cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b 几何意义 a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上射影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cos θ的乘积 3.平面向量数量积的性质 设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则 (1)e·a＝a·e＝|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b＝0. (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝. (4)cos θ＝. (5)|a·b|≤|a||b|. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b＝b·a； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)； (3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到 (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝. (3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥bx1x2＋y1y2＝0. (4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝. 【知识拓展】 1．两个向量a，b的夹角为锐角a·b0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角a·b0且a，b不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. (3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．(　√　) (2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(　√　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　×　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　×　) (5)两个向量的夹角的范围是[0，]．(　×　) 1．(教材改编)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　) A．－12 B．6 C．－6 D．12 答案　D 解析　∵2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 2．(2016·南宁质检)已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝，故选C. 3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　A 解析　∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴·＝2×3＋(－1)×1＝5. 4．(2016·北京)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则a与b夹角的大小为________． 答案　 解析　设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝＝， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 5．(2016·厦门模拟)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________. 答案　 解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0， ∴x＝2，∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5， ∴|a＋b|＝＝ ＝＝. 题型一　平面向量数量积的运算 例1　(1)(2016·天津)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　) A．－ B. C. D. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________． 答案　(1)B　(2)1　1 解析　(1)如图， 由条件可知＝－， ＝＋＝＋ ＝＋， 所以· ＝(－)·(＋) ＝2－·－2. 因为△ABC是边长为1的等边三角形， 所以||＝||＝1，∠BAC＝60°， 所以·＝－－＝. (2)方法一　以射线AB，AD为x轴，