2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算试题 理 北师大版.docVIP

第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及线性运算试题 理 北师大版 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫作向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度为单位1的向量 非零向量a的单位向量为± 平行向量 如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线 0与任一向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ.，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． 3.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　×　) (2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(　√　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　×　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(　√　) 1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有正确命题的序号是(　　) A．① B．③ C．①③ D．①② 答案　A 解析　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误． 2．(教材改编)D是△ABC的边AB上的中点，则向量等于(　　) A．－＋ B．－－ C.－ D.＋ 答案　A 解析　如图， ＝＋＝＋＝－＋. 3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　当a＋b＝0时，a＝－b，∴a∥b；当a∥b时，不一定有a＝－b，∴“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件． 4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t， 所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb， 即可得所以λμ＝1，故选D. 5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________. 答案　2 解析　由向量加法的平行四边形法则， 得＋＝. 又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2， ∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2. 题型一　平面向量的概念 例1　给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是(　　) A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 答案　A 解析　①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同． ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||，∴＝. ③正确． ∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命