高等数学概率论：随机变量的数字特征.PPTVIP

例 随机变量X 服从二点分布 X 0 1 P 1-p p 解 由于随机变量X的分布列为： , 故 例 X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为： 3. 方差的性质 (3)D(cX)= D(X ), c, b为常数； (1)常数的方差为零。 (2)D(X+c)=D(X) 例10 设 ， ， 求 ， 。 解 。 * * Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop Stop 测平均寿命 6.1 数学期望 ?先来看一个例子 例1 一个年级有100名学生，年龄组成为：17岁的2人，18岁的2人，19岁的30人，20岁的56人，21岁的10人，求该年级学生的平均年龄。 年龄 17 18 19 20 21 人数 2 2 30 56 10 则学生的平均年龄是总年龄÷总人数。即 上式也可以写成： X 17 18 19 20 21 P 1/50 1/50 3/10 14/25 1/10 现引进 离散型随机变量X表示学生年龄，则X有分布律 于是上述平均数可以写成 即取值乘取值的概率相加即得平均值。 这就是 离散型随机变量的数学期望的概念 1.离散型随机变量的数学期望 定义：离散型随机变量X，其分布律为： 若级数 绝对收敛， 即 的和 为随机变量X的数学期望，记为 则称级数 例2 一批产品中有一、二、三等品及废品四种， 相应比例分别为60%，20%，10%及10%，若各等 级产品的产值分别为6元、4.8元、4元及0元，求产 品的平均产值。 解 产品的平均产值为 例 单点分布（退化分布） 即常数的数学期望为常数。 例 X ~（0—1）分布 X 0 1 p 1-p p 即 r.v.X的分布律为：P{X= c }=1 即 r.v.X的分布律为： 定义 设连续型 r.v.X的概率密度函数为 f (x) 若积分 绝对收敛，则称积分 的值为连续型 r.v.X的数学期望，记为E(X)。 即 若积分 发散时， 则称X的数学期望不存在。 2. 连续型随机变量的数学期望 例 设X在 上服从均匀分布，求 解 由于X的概率密度函数为： 3. 随机变量函数的数学期望 设随机变量Y为 随机变量函数，Y=f(X),f(x)为连续的实值函数. （i）X是离散型随机变量，其分布律为 则 事实上 （ii）X是连续型随机变量，其概率密度函数为 p(x) 则 综上有： 若已知 X 的分布以及函数 g(x),可以不必求出Y= g(x)的分布,直接利用上面的公式求出Y的数学期望. P 0 1 2 X 解 例六 设X在 上服从均匀分布，求 解 由于X的密度函数为 于是 4.1.3 数学期望的性质 现在来证明数学期望的几个重要的性质（以下设所遇到的随机变量的数学期望存在） (1)设 c 是常数，则有 E(c)= c . (2)设X是一个随机变量，a是常数，则有 E(aX)= a E(X) (4)设X,Y 是两个随机变量，则有 E(X+Y ) = E(X) + E(Y) 此性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况 (3)若a,b是常数，则 E(aX+b)= a E(X)+b 6.2 方差 ? 方差(Variance or Dispersion) 方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。 1.定义 若E(X)存在，则称E[X?E(X)]2 为 r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X). 2.推论 D(X )=E(X 2 )?[E(X )]2. 按定义,D(X) 表达了 X 的取值与其期望的偏离程度. 若 X 的取值比较集中 ,则较D(X)小,反之，若取值比较 分散，则 D(X)较大. 因此，D(X)可视为用来刻画X 的 取值分散程度的一个量，它是衡量 X 取值分散程度的 一个尺度.