高等数学课件无穷大与无穷小.PPTVIP

高等数学课件 第五节 无穷小和无穷大 （一） 无穷小 （二） 无穷大 （三） 二者关系 （四）无穷小的阶 一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小的阶及其比较 小结 思考：已知x→0时 作业 P58: 3. 偶 4. 偶 （5. 偶） 北京理工大学数学系 无穷是一个永恒的谜 －－－Hilbert 定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小. 例如： 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （3）零是可以作为无穷小的唯一的数. （2）无穷小是变量的一种变化趋势; 例如, 证 2、无穷小与函数极限的关系: 意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中, 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 注意　无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 证 证 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大. 是无界变量， 但不是无穷大量 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论. 例如, 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 比较 定义: 例如， 例4 解 ？？？是不是任意两个无穷小 都可以进行阶的比较 不存在且不为无穷大 意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, 常用等价无穷小: 例5 解 1、主要内容: 定义;定理;推论. 2、几点注意: 无穷小与无穷大是相对于过程而言的. （1） 无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆， 零是唯一的无穷小的数； （2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小； （3） 无界变量未必是无穷大. 3、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 同阶无穷小； 等价无穷小; 无穷小的阶. 是等价无穷小，求A，n. * *