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第八章 椭圆、双曲线与抛物线 考点综述 椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容．纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，主要体现出以下几个特点：1．基本问题，主要考查以下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p 更多参考：/product.aspx?product_id 考点1 椭 圆 典型考法1 椭圆的最值问题 典型例题 已知椭圆，常数、，且． 当时，过椭圆左焦点的直线交椭圆于点，与轴交于点，若，求直线的斜率；过原点且斜率分别为和（）的两条直线与椭圆的交点为（按逆时针顺序排列，且点位于第一象限内），试用表示四边形的面积求的最大值． 的左焦点为设满足题意的点为．又∴，即由点在椭圆上，得，得． 过原点且斜率分别为和的直线，关于轴和轴对称，四边形ABCD是矩形设点A．联立方程组，于是是此方程的解，故 ．设，则上是单调函数． 理由：对任意两个实数，且＝． ．∴在上是单调函数，于是，当且仅当等号成立．． 在上是单调函数． 必杀技： 利用求函数最值的方法+椭圆性质　 解决与椭圆有关的最值问题须注意： 1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值． 2．最值问题的求解策略： (1)总方针：建立目标函数（或目标不等式） (2)具体方法： ①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题 ②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题 ③结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值 ④利用基本不等式求最值 还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用． 以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题． 读者自行完成上述性质1．是椭圆的右焦点，为椭圆内一定点，为椭圆上一点，则的最小值为 ．是它的两个顶点，直线 与AB相交于点D，与椭圆相交于、两点，若，． （1）已知，求的值； （2）求四边形面积的最大值； 3．若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比． (1)求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程; (2)设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值; (3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆：和：交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明． 参考答案： 1．. 2．（1） . （2）. 提示：设点到的距离分别为，，故的面积为 ，易得当时，取最大值． 注：通过对（2）面积的若干结论． 结论一：已知是椭圆的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于、两点，则四边形面积的最大值为． 结论二：以椭圆的一条定弦为对角线的椭圆内接四边形面积取最大值时，另一条对角线必过原点与的中点 ． 推论1：若以为斜率的直线与椭圆相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率满足： ． 推论2：以为斜率的椭圆两切线间的距离为（如图-1-8）． 推论3：若是椭圆不过原点且不垂直于对称轴的弦上一点，则点是弦中点的充要条件是 ． 结论三：椭圆内接四边形面积的最大值为 ． 结论四：是椭圆的过原点的一条定弦，是椭圆的过弦上定点的动弦，则当弦被点平分时，椭圆内接四边形面积取最大值的充要条件是： ． 3．(1) (2)①当射线与轴重合时，=． ②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形． 设其方程为（），设，，由 解得，同理可得，令 则由 知，于是在上是增函数，∴，由①②知，的最大值为，的最小值为． (3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个． 命题：过原点的一条射线分别与双曲线：和： 交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为． 证明：∵射线与双曲线有交点，不妨设其斜率为，显然．设射线的方程为 ，设点、、由得， 由 得，由P点在射线上，且 得 即得． 命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线：和： 相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若、、成等差数列，则点P的轨迹方程为． （证略）． 典型考法2 与椭圆有关的定点与定值问题 典型例题 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形． （1）求椭圆方程； （2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点证明：为定值； （3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点