全國各地高考数学压轴题目解析2.docVIP

11年高考数学压轴题 1、（安徽理）（21）（本小题满分13分） 设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程。 （21）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。 解：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2),则,即 ① 再设，由，即，解得 ② 将①式代入②式，消去，得 ③ 又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得 整理得 因，两边同除以，得 故所求点P的轨迹方程为。 2、（广东理）21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。 （1）过点作L的切线教y轴于点B. 证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有 （2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b0,a≠0. 过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X; （3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）， 直线AB的方程为，即， ，方程的判别式， 两根或， ，，又， ，得， ． （２）由知点在抛物线L的下方， ①当时，作图可知，若，则，得； 若，显然有点； ． ②当时，点在第二象限， 作图可知，若，则，且； 若，显然有点； ． 根据曲线的对称性可知，当时，， 综上所述，（*）； 由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或， 同理点M在直线上，方程的两根或， 若，则不比、、小， ，又， ；又由（１）知，； ，综合（*）式，得证． （３）联立，得交点，可知， 过点作抛物线L的切线，设切点为，则， 得，解得， 又，即， ，设，， ，又，； ，， ． 3、（湖北理）21．（本小题满分14分） （Ⅰ）已知函数，，求函数的最大值； （Ⅱ）设…，均为正数，证明： （1）若……，则； （2）若…=1，则 21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分） 解：（I）的定义域为，令 当在（0，1）内是增函数； 当时，内是减函数； 故函数处取得最大值 （II）（1）由（I）知，当时， 有 ，从而有， 得， 求和得 即 （2）①先证 令 则于是 由（1）得，即 ②再证 记， 则， 于是由（1）得 即 综合①②，（2）得证。 4、（湖南理）22.（本小题满分13分） 已知函数() =，g ()=+。 （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤?. 解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，；当时，； 所以， 当时，单调递减，而，则在内无零点； 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点； 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。 解法2：，记，则。 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点， 综上所述，有且只有两个零点。 （II）记的正零点为，即。 （1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明： ①当时，显然成立； ②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。 故对任意的，成立。 （2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明： ①当时，显然成立； ②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。 故对任意的，成立。 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有. 5、（江西理）21、（本小题满分14分） （1）如图，对于任一给定的四面体，找出依 次排列的四个相互平行的平面 ，使 得（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间 的距离都相等； （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i=1,2,3,4），求该正四面体的体积. 解：