动态规划矩阵连乘算法详解.docx

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问题描述:给定n个矩阵:A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2...,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。? ? ? 问题解析:由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。? ? ? ?完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为:? ? ?(1)单个矩阵是完全加括号的;? ? ?(2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC)? ? ? ?例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。? ? ? 看下面一个例子,计算三个矩阵连乘{A1,A2,A3};维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次,按此顺序计算需要的次数(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次? ? ? 所以问题是:如何确定运算顺序,可以使计算量达到最小化。? ? ??? ? ? 算法思路:? ? ? 例:设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是:? ? ? A1:30*35; ? ? A2:35*15; ? ? A3:15*5; ? ? A4:5*10; ? ? A5:10*20; ? ? A6:20*25?? ? ? 递推关系:? ? ??设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。? ? ? 当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,m[i][i]=0,i=1,2,…,n? ? ? 当ij时,若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开,i=kj,则:m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置,所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此,k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。? ? ? 综上,有递推关系如下:? ? ??? ??? ? ??构造最优解:? ? ? 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此,从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n]),进一步递推,A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去,最终可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。? ? ? 1、穷举法? ? ??列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。? ? ??对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)。每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下:? ? ??? ? ? 以上递推关系说明,P(n)是随n的增长呈指数增长的。因此,穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。? ? ? 2、重叠递归? ? ? 从以上递推关系和构造最优解思路出发,即可写出有子问题重叠性的递归代码实现://3d1-1 重叠子问题的递归最优解//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}#include stdafx.h#include iostream using namespace std; constint L = 7;intRecurMatrixChain(

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