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实变论文 论文题目：可测函数列常见的几种收敛 班级：信计2班 学号：20110502073 姓名：郭建凯 指导教师：陈兰新 日期：2013年6月11日星期二、1 可测函数列几种收敛的定义 1.1 一致收敛 设是定义在点集上的实值函数．若对于存在使得对于都有 则称在上一致收敛到．记作： (其中u表示一致uniform)． 例 定义在上的函数列则在上点点收敛到函数 而且还能看出在上不一致收敛到，但对于在上一致收敛到． 1.2几乎处处收敛 是定义在点集上的广义实值函数．若存在中点集，有及对于每一个元素，有 则称在上几乎处处收敛与，并简记为或 1.3 依测度收敛是可测集上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的有 则称在上依测度收敛到函数，记为 2 可测函数列几种收敛的关系 2几乎处处收敛与一致收敛的关系 ．反之则不然. 2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系 opoB)定理：设是上一列a.e．收敛于一个a.e．有限的函数的可测函数，则对于任意的，存在子集，使在上一致收敛，且． 注　定理中“”不可去掉如： 例 定义在的函数列 则在上处处收敛于1，但对于任何正数及任何可测集，当时时，在上不一致收敛于1．这是因为，当时时，不能全部含于中，必有，于是有． 所以在上不一致收敛与1，也即定理中“”不可去掉． 由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)． 2.3 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 ，将等分，定义两个函数： ， ． 然后将四等分、八等分等等．一般的，对于每个，作个函数： ． 我们把，先按后按的顺序逐个的排成一列： 　　　　　　　 在这个序列中是第个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的， 或是空集(当)，或是 (当)，所以 (当时时，左端为0)． 由于当趋于时，由此可见 ， 也即 ． 但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点，无论多么大，总存在，使，因而，然而或，换言之，对于任何，在中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在上任何点都是发散的． 例 如例4，当当．但是当时， 且．这说明不依测度收敛于1． 应用　依测度收敛在概率统计中有重要的意义,它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]． 结束语： 上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同． 参考文献： 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)．高等教育出版社 实变函数与泛函分析[M]．高等教育出版社 5