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部分:维随机变量的联合概率分布双份
第三部分 概率论与数理统计
第三章 二维随机变量的联合概率分布
[考试内容]
随机变量的联合分布函数,离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布,连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度,随机变量的独立性和相关性,常见二维随机变量的联合分布,两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。
[考试要求]
1.理解随机变量的联合分布函数的概念和基本性质;
2.理解随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式:离散型联合概率分布和连续型联合概率密度,掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布;
3.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件,理解随机变量的不相关与独立性的关系;
4.掌握二维均匀分布和二维正态分布,理解其中参数的概率意义。
5.会根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布,会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。
[命题特点]
本章一般出计算题,近年来二元函数的分布比一元的分布考得更多一些。
[内容综述]
一、多维随机变量的概念
二维随机变量:随机试验E的样本空间为,设和是定义在上的随机变量,由它们构成的一个向量,叫做二维随机向量或二维随机变量.(若有个定义在上的随机变量,,…,由它们构成的维向量叫做维随机向量或维随机变量)
二、二维随机变量的联合分布函数、联合概率密度的概念与性质
1. 联合分布函数:
.
分布函数的基本性质:
1)是关于x或y的非减函数,即
对于固定的y,若x1<x2,则F(x1,y)≤F(x2,y);
对于固定的x,若y1<y2,则F(x,y1)≤F(x,y2).
2)0≤≤1.
且 ;;
;.
3)对每个变量右连续,即
,.
4)根据概率可加性,对于如图任意
.
2. 二维离散型和连续型随机变量的分布:
1)二维离散型随机变量:如果二维随机变量的所有可能的值是有限对或可列无限多对,则称是离散型的随机变量.其分布律(联合分布律)为
,
满足:① ; ② ; ③ .
2)二维连续型随机变量:如果对于二维随机变量的分布函数,存在非负函数,使对于任意实数有,则称为连续型的随机变量,函数称为的(联合)概率密度.
满足:① ; ② ;
③ 在的连续点处有;
④ 随机点落在平面区域内的概率为 .
三、二维随机变量的边缘分布与联合分布的关系
1. 边缘分布函数
,
;
2.二维离散型随机变量的边缘律及分布函数
, ;
3.二维连续型随机变量的边缘概率密度
, .
(联合分布可唯一确定边缘分布,反之未必成立!!!)
四、了解二维随机变量的条件分布
( 这几年考试内容明显增多 )
1. 条件分布函数
称为在条件下的条件分布函数;
称为在条件下的条件分布函数.
2.离散型随机变量的条件分布律
称为在条件 下的条件分布函数;
称为在条件 下的条件分布函数.
3.连续型随机变量的条件概率密度
称为在条件下的
条件概率密度;
称为在条件下的
条件概率密度.
(注意与第一章中条件概率的计算作比较)
五、理解随机变量独立性的概念(相关性)
若对于所有,有
,
即 ,
则称随机变量和是相互独立的.
相对离散型,和相互独立的充分必要条件是:
,
即 ;
相对连续型,和相互独立的充分必要条件是:
.
应熟练应用随机变量的独立性进行概率计算.
(注意独立与相关的联系与区别)
六、掌握求两个随机变量的函数的分布
( 离散的仍是表上作业法,连续的熟悉下面的几种类型 )
1.两个随机变量和的分布,即的分布
;
当和相互独立时,
(称为卷积公式)
2.及的分布
和相互独立时,
1)的分布:
;
2)的分布:
.
七、重点与难点
重点:二维随机变量的概念,二维随机变量的联合分布函数、分布律、概率密度、独立性、条件概率和边缘分布,二维随机变量的函数的分布及概率密度,特别是、、的分布.
难点:已知联合概率密度求联合分布函数、条件概率;已知(,)的分布求、、的分布.
3. 一些说明:联合分布函数与联合概率密度中的常数常由及的各个性质来确定.
求联合分布函数时,首先要定出联合概率密度,再根据的条件及随机变量所满足的不等式等,正确的画出二重积分区域,将二重积分化为累次积分去计算.
题型一:求二维随机变量的概率分布
题型二:有关条件分布问题
题型三:随机变量的独立性
题型四:二维随机变量函数的分布及概率的计算
题型一:求二维随机变量的概率分布
离散的情形:
例1.一个箱子里装有12只开关,其中
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