数值符号计算.ppt

第三章 MATLAB数值计算 3.1数值矩阵运算 3.1.1特殊矩阵 3.1.2矩阵变换 1．矩阵的转置转置运算符是单撇号(′), 共轭转置。 2．矩阵的旋转 函数rot90(A,k)将矩阵A逆时针方向旋转90o的k倍， 当k为1时可省略。 3．矩阵的左右翻转: 函数是fliplr(A)。 左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换， 第二列和倒数第二列调换，…，依次类推。 4．矩阵的上下翻转: 函数是flipud(A)。 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 fliplr(A) ans = 4 3 2 1 8 7 6 5 12 11 10 9 16 15 14 13 3.1.3矩阵的秩、迹、行列式、逆和伪逆 rank(A) trace(A) det(A) inv(A) pinv(A)。 1．矩阵的秩矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。 在MATLAB中，求矩阵秩的函数是rank(A)。 2．矩阵的迹矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。在MATLAB中，求矩阵的迹的函数是trace(A)。 3 ．矩阵的行列式 在MATLAB中，求方阵A所对应的行列式的值的函数是det(A)。 4．矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在一个与其同阶的方阵B，使得：A·B=B·A=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵。求一个矩阵的逆是一件非常烦琐的工作，容易出错，但在MATLAB中，求一个矩阵的逆非常容易。求方阵A的逆矩阵可调用函数inv(A)。 例2-11 用求逆矩阵的方法解线性方程组。Ax=b其解为：x=A-1b x=inv(A)*b。 5．矩阵的伪逆如果矩阵A不是一个方阵，或者A是一个非满秩的方阵时，矩阵A没有逆矩阵，但可以找到一个与A的转置矩阵A′同型的矩阵B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此时称矩阵B为矩阵A的伪逆，也称为广义逆矩阵。在MATLAB中，求一个矩阵伪逆的函数是pinv(A)。 3.1.4矩阵的范数和条件数 矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。 1．向量的3种常用范数及其计算函数在MATLAB中，求向量范数的函数为：(1) norm(V)或norm(V,2)：计算向量V的2—范数。(2) norm(V,1)：计算向量V的1—范数。(3) norm(V,inf)：计算向量V的∞—范数。 2．矩阵的范数及其计算函数MATLAB提供了求3种矩阵范数的函数，其函数调用格式与求向量的范数的函数完全相同。 3 ．矩阵的条件数在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是：(1) cond(A,1) 计算A的1—范数下的条件数。(2) cond(A)或cond(A,2) 计算A的2—范数数下的条件数。(3) cond(A,inf) 计算A的 ∞—范数下的条件数。 3.1.5矩阵特征值和特征向量 在MATLAB中，计算矩阵A的特征值和特征向量 的函数是eig(A)，常用的调用格式有3种：(1) E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。(2) [V,D]=eig(A)：矩阵A的全部特征值构成对角阵D，A的特征向量构成V的列向量。 (3) [V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与第2种格式类似，但第2种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩阵A的特征值和特征向量。 例 用求特征值的方法解一元多次方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p); %p的友矩阵方法一x1=eig(A) %求A的特征值方法二x2=roots(p) %直接求多项式p的零点 A的第1行元素为 -p (2:n)/p(1)，其中p (2:n)为p的第2到第n个元素， 3.2稀疏矩阵 3.2.1矩阵的存储方式 MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存储方式和稀疏存储方式。 1．完全存储方式完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也适用。 2．稀疏存储方式稀疏存储方式仅存储矩阵所有的非零元素的值及其位置，即行号和列号。在MATLAB中，稀疏存