数值分析五.ppt

（3）为了求 内 方 程 的根，考察迭代过程 显然 所以，迭代过程（3.9）（初值 ） 不收敛于 。 （4）可将方程转化等价方程 且有 所以，当选取 时迭代方程 收敛。如取 ，则迭代12次有 （3.9） 且有 由上例可见，对于方程 ，迭代函数 选取不同，相应由迭代法产生的 收敛情况也不一样。因此，我们应该选取迭代函数， 使构造的迭代过程 收敛且收敛较快。 迭代法框图(图5-7)： 迭代法：求解方程 （1） 选取解的初始估计 ； （2） 对于 计算 ，其中 为给定的 最大迭代次数。当 时（或 或 ，其中 为给定精度要求）迭代终止。 计算 否 输出 迭代 次还没有达到 精度要求信息 输出 输入 是 图 5 -7 §4 牛顿-雷扶生方法 解非线性方程 的牛顿方法是一种将非线性函数线性化的方法。 牛顿方法的最大优点是在方程单根附近具有较高的收敛速度。牛顿方法可用来计算 的实根，还可计算代数方程的复根。 4.1 牛顿法公式及误差分析 设有非线性方程 其中，设 为 上一阶连续可微，且 又设 是 的 一个零点 的近似值(设 ，现考虑用过曲线 上点 的切线近似代替函数 ，即用线性函数 （图5-8） 代替 。且用切线（即线性函数）的零点，记为 ，作为方程（4.1） 的根 的近似值，即求解 (4.1) 得到 一般，若已求得 ，将（4.2）中 换为 ，重复上述过程，即求得 方程 根的牛顿方法的计算公式 图 5-8 (4.2) (4.3) 下面利用 的泰勒公式进行误差分析。设已知 根 的第 k 次近似 ，于是 在 点泰勒公式为（设 二次连续可微）： 其中c在 与 之间。 如果用线性函数 近似代替 ，其 误差为 。且用 根记为 作为 的根 的近似值又得到牛顿公式 现在（4.4）中取 ，则有 于是 (4.4) （设 ）。 利用牛顿公式(4.3) 即得误差关系式 误差公式（4.5）说明 的误差是与 误差的平方成比例的。当初始误差（即 ）是充分小时，以后迭代的误差将非常快的减少。 由计算公式（4.3）可知，用牛顿法求方程 根，每计算一步需要计算一次函数值 以及一次导数 。 例7 用牛顿法求