张英伯Cliffordtheoremrv.ppt

  五点共圆问题 与 Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯，叶彩娟 2007年4月 一、引子 在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。 江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答，他们的数学功底令人敬佩。 这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，每相邻的两个小三角形的外接圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点。在五边形五顶点外的交点共有五个，证明这五点共圆。 2003年春天，我去德国访问。有一天我的老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你知道“江问题”吗？正当我在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单时，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！” 那天Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。 2006 年底，澳门的一个研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了推广的五点共圆问题。报告之后，研讨班的组织者力主并多次敦促将这一问题的证明写成文章。 回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。 感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。 经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。 有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquel’s Theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。 再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。 William Kingdon Clifford（1845-79），英国的几何代数学家，34岁辞世。 他建立了Clifford代数，这是一种交换环上的有限维结合代数，可以看作是复数域和 Hamilton四元数除环的推广，他将这种代数应用于运动几何。他还研究了非欧氏空间中的运动，引入了平行线的定义，并对微分几何做出贡献，创建了Klein-Clifford 空间。 直到今天，Clifford代数仍然是数学物理、几何、分析领域中的热门话题。 在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了《几何基础》一书。当《几何基础》引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形、直线和圆相关的点等问题被重新发现并研究。 1838年，Miquel证明了关于四圆共点的一个定理。在这个定理的基础上，Clifford于1871年建立了Clifford链定理，这是数学史上非常著名的一个有趣而又奇妙的定理。 那个年代的许多欧美数学家都研究并论证过这个定理，一方面寻找它的多种证明方法，另一方面研究这些点圆和其它一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在当时的数学杂志上，不断地发表与Clifford链定理相关的研究成果。 我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域，因此对当时的一些研究都比较陌生。 由于没有见到Clifford的原文，本文所讲的证明，是基于英国几何学家 F. Morley于1900年发表在美国数学会 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。 二、Clifford 链定理的表述 n=4 任选平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的四条直线， 则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆， 则这四个圆共点。 此点被称为 Wallace 点。 任取平面内