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中南大学数学公共课程之复变函数与积分变换 王国富 中南大学数学科学与计算技术学院 引言 高等数学主要研究对象是以实数为变量的函数。而复变函数主要是研究以复数为变量的函数。 复变函数中的许多概念、理论和方法都是实变函数在复数领域内的推广和发展，因此我们在学习过程中要注意比较两者的共同点和不同点。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用。 第1章 复数与复变函数 第2章 解析函数 第3章 复变函数的积分 第4章 级数 第5章 留数 第6章 共形映射 第1章 复数与复变函数 1.1 复数及其代数运算 各数集之间的关系可表示为： 例1 化简 . 解 例2 设 ，求 及 . 解 模的性质： 4.复数的三角表示式 由 可得复数 的三角表示式： 5.复数的指数表示式 根据欧拉公式 ，可得复数 的指数表示式 复数的球面表示 如图1.4，取一个与复平面切于原 点的球面，球面与始于原点且垂直 于复平面的射线相交于点N，对 复平面上任一点z，过z和N作直 线与球面相交于异于N的一点P， 反之，对球面上任一异于N的一点P，过N和P的直线与复平面交于一点z，因此，除去点N外球面上的点与复平面上的点一一对应,所以我们就可以用球面上的点来表示复数. 扩充复平面 从图1.4可以看到，当z无限远离原点时P无限逼近N.我们规定，无限远离原点的点称为无穷远点，它与球面上的点N对应.我们把包括无穷远点的复平面称为扩充复平面，不包括无穷远点的平面称为有限平面或复平面，本书如无特别声明，只考虑有限复数及复平面。 例3 求 和 . 解 1.3 复数的乘幂与方根 1.3.1 乘积与商的几何意义 定理1 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的辐角等于他们辐角的和.即对任何两个非零复数 ，下面两个等式同时成立. ； 三角表示式 设 则有 指数表示式 设 ，则 定理2 两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角的差. 三角表示式 设 则有 指数表示式 设 ， 则有 1.3.2 复数的乘幂 设 为正整数， 个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即 若 ，则有 当 时，得到著名的棣莫弗( De Moivr)公式： 1.4.2.单连通域与多连通域 简单曲线、简单闭曲线 设 及 是闭区间 上连续的两个实函数，则由方程组 或由复数方程 （简记为 ） 所决定的点集C称为复平面上的一条连续曲线， 及 分别称为C的起点和终点；对满足 ， 且 的 及 ，当 成立时，点 单连通域、多连通域 设D是平面上一区域，如果在D内任作一条简单闭曲线，而曲线所围的部分总属于D，则称区域D为单连通区域. 不是单连通的区域称为多连通区域或复连通区域. 1.5 复变函数 1.5.1.复变函数的定义 定义1 设 G为给定的复平面点集，若对于 G中每一个复数 ，按着某一确定的法则 ，总有确定的一个或几个复数 与之对应，则称 是定义在G 上的复变函数（复变数 是复变数 的函数），简称复变函数，记作 .其中 称为自变量， 称为因变量，点集G称为函数 的