序列的Z变换.ppt

§2.5 序列的Z变换 * 2.5.1 Z变换定义 设某序列为x(n)，其Z变换定义为 1.收敛域定义 对于任意给定的序列x(n)，能使 收敛的所有Z值之集合，即 为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence) 2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。 3. 序列的收敛半径 阿贝尔定理: 收敛,那么,满足 0≤|z|Rx+的一切z, 级数必绝对收敛。 Rx+为最大收敛半径。 如果级数 在 收敛,那么,满足 级数必绝对收敛。 Rx-为最小收敛半径。 同样级数 在 的一切z 收敛域一般可用环状域表示，即 收敛半径判定法1.比值判定法 2.根值判定法 2.5.2 序列特性对收敛域的影响 1. 有限长序列Z变换的收敛域 2. 右边序列Z变换的收敛域 收敛域 3. 左边序列Z变换的收敛域 Rx+ 3. 双边序列Z变换及收敛域 Im(z) Re(z) 总结 2.5.3、逆Z变换 z变换公式： C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线. 0 c 直接计算围线积分比较麻烦，介绍3种方法 一.定义： 已知X(z)及其收敛域, 反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。 1.用留数定理求逆Z变换 zk为c内的第k个极点， zm为c外的第m个极点， 0 c 表示极点处的留数。 (2) 当Zk为N阶(多重)极点时的留数： 留数的求法： （1）当Zr为一阶极点时的留数： zk为c内的极点，k=1,2, ???,N1 zm为c外的极点，m=1,2, ???,N2 我们可根据计算方便任意选取围线内外的留数进行计算。 由于本题没给收敛域，必须考虑所有情况 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 解： 3.部分分式法 通常，X(z)可表成有理分式形式： 可以展成以下部分分式形式 确定了A0、Am即完成了部分分式展开。 分别求出各部分分式的z反变换（可查P51表2.5.1），然后相加即得X(z)的z反变换。 的反变换。 例：利用部分分式法，求 解： §2-4 Z变换的基本性质和定理 如果 则有： *即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。 1.线性 2. 序列的移位 3.乘以指数序列 (Z域尺度变换) 证明： 4. 序列乘以n (Z域求导数) 证明： 5.复序列取共轭 证明： 6. 初值定理 证明： 7. 终值定理 证明： 8.序列的卷积 (时域卷积定理) 证： 其收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域 解(2): 9. 复卷积定理 证： 收敛域证明自己阅读 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略） 如果 则有: 12.帕塞瓦定理(parseval) *