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第一章 函数与极限 第一章 集合 集合之间的关系及运算 映射 引例2. 函数 函数的几种特性 (3) 奇偶性 又如, (4) 周期性 反函数与复合函数 (2) 复合函数 初等函数 非初等函数举例: 内容小结 练习题 * * 第三节 函数的极限 第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第四节 无穷大与无穷小 第五节 极限运算法则 （第2-4周） 函 数 极限 第六节 极限存在准则及两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第八节 函数的连续性与间断点 第十节 闭区间上连续函数的性质 习题课 连续 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 第一节 映射与函数 定义及表示法 自然数集 有理数集 p 与 q 互质 闭区间 开区间 半开区间 无限区间 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 显然有下列关系 : , , ? 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生 的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 引例1. 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 设 X , Y 是两个非空集合 有唯一确定的 与之对应 从 X 到 Y 的映射 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 映射的概念 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 定义域 函数的概念 数集 称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 f ( D ) 称为值域 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. 函数图形: 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法 例如, 反正弦主值 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 使 称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 ) (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界 当 时, 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 奇函数 双曲正弦 记 再如, 奇函数 双曲正切 记 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 狄里克雷函数 (P14 例10) (1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① ② u 称为中间变量 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 : 函数 但函数链 不能构成复合函数 . 可定义复合 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 称为初等函数 . 可表为 故为初等函数. 又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 . ( 自学, P17 – P21 ) 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 1. 集合及映射的概念 定义域 对应规律 3. 函数的特性 有界性, 单调性,奇偶性, 周期性 4. 初等函数的结构 2. 函数的定义及函数的二要素 * *