六解线性方程组的迭代法.ppt

* 取 ， 取其他 值，迭代次数如下表. 第11次迭代结果为 * 从此例看到，松弛因子选择得好，会使SOR迭代法的 收敛大大加速. 本例中 是最佳松弛因子. * 6.3 迭代法的收敛性 6.3.1 一阶定常迭代法的基本定理 设 （3.1） 其中 为非奇异矩阵， 记 为(3.1)精确解， 于是 （3.2） 且设有等价的方程组 * 设有解 的一阶定常迭代法 （3.3） 问题是： 迭代矩阵 满足什么条件时，由迭代法产生 的向量序列 收敛到 引进误差向量 由(3.3)式减(3.2)式得到误差向量的递推公式 * 由6.1节可知，研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究 迭代矩阵 满足什么条件时，有 定义2 设有矩阵序列 及 , 如果 个数列极限存在且有 则称 收敛于 ， 记为 * 例4 且设 ，考查其极限. 解 由于，当 时，有 设有矩阵序列 所以 * 矩阵序列极限概念可以用矩阵算子范数来描述. 定理1 证明 再利用矩阵范数的等价性，可证定理对其他算子范数亦对. 定理2 对任何向量 都有 其中‖·‖为矩阵的任意一种算子范数. 显然有 （证明略） * 定理3 设 , 则 (零矩阵)的 充分必要条件是矩阵 的谱半径 证明 由矩阵 的若当标准型，存在非奇异矩阵 使 其中若当块 * 且 ， 其中 于是 下面考查 的情况. 显然有 引进记号 * 显然有， 由于 , 因此 * 其中 利用极限 ， 所以 的充要条件是 ， 得到 即 * 定理4 （3.4） (迭代法基本定理) 设有方程组 及一阶定常迭代法 （3.5） 对任意选取初始向量 ， 矩阵 的谱半径 迭代法(3.5)收敛的充要条件是 证明 设 ， 易知 )有唯一解， 记为 ， 充分性. (其中 则 * 误差向量 由设 ， 应用定理3，有 于是对任意 , 有 ， 必要性. 设对任意  有 其中 即 显然，极限 是方程组(3.4)的解， 且对任意 有 * 由定理2知 再由定理3，即得 推论 设 ， 其中 为非奇异矩阵 且 非奇异，则 (1) 解方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ， 其中 (2) 解方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛的充要条件是 其中 (3) 解方程组的SOR方法收敛的充要条件是 ， 其中 * 例5 迭代矩阵 的特征方程为 解得 考察用雅可比方法解方程组（1.2）的收敛性. （1.2） 即 . 所以用雅可比迭代法解方程组(1.2)是收敛的.  * 例6 的收敛性， 解 考察用迭代法解方程组 其中 特征方程为 特征根 即 . 这说明用迭代法解此方程组不收敛. * 定理5 及一阶定常迭代法 如果有 的某种算子范数 ， (1) 迭代法收敛， 即对任取 有 (迭代法收敛的充分条件) 设有方程组 则 * 证明  (2) 由关系式 及 反复利用(b)即得(2). (1) 由基本定理4结论(1)是显然的. 有 * (3) 考查 即 (4) 反复利用(a), 则得到(4). * * 第6章 解线性方程组的迭代法 * 6.1 迭代法的基本概念 6.2 Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法 6.3 超松弛迭代法 6.4 共轭梯度法 * 6.1 迭代法的基本概念 考虑线性方程组 （1.1） 其中 为非奇异矩阵，当 为低阶稠密矩阵时，第5章所讨 论的选主元消去法是有效方法. 但对于 的阶数 很大，零元素较多的大型稀疏矩阵 方程组，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程 组来