信号与系统周期信号的傅里叶级数表示.ppt

3.5 连续时间傅里叶级数的性质 　学习这些性质，有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。 一. 线性： 若 和 都是以 为周期的信号，且 则 二.时移: 三.反转: 若 是以 为周期的信号，且 则 若 是以 为周期的信号，且 则 四.尺度变换: 若 是以 为周期的信号，且 则 以 为周期，于是 令 ， 于是有： 五. 相乘: 若 和 都是以 为周期的信号，且 则 也即 证明： 六.共轭对称性: 若 是以 为周期的信号，且 则 由此可推得，对实信号有： 或 对实信号，当 时， （实偶函数） 当 时， （虚奇函数） 七.Parseval 定理： 表明：一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和. * 掌握表3.1 例1： -T 1 T 0 … … 1 0 … … -T ． ． T 例2：周期性矩形脉冲 将其微分后，可利用例1表示为 1 0 … … 设 由时域微分性质有 根据时移特性，有 由例1知 一.离散时间傅里叶级数（DFS） 考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个信号都以 为周期，且该集合中只有 个信号是彼此独立的。 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 这个级数就称为离散时间傅里叶级数（DFS）， 其中 也称为周期信号 的频谱。 将这 个独立的信号线性组合起来，一定能表 示一个以 为周期的序列。即： 其中 为 个相连的整数 二. 傅里叶级数系数的确定 给 两边同乘以 ，得： 显然 仍是以 为周期的，对两边求和 而 显然上式满足 ，即 也是以 为周期的，或者说 中只有 个是独立的。 三.周期性方波序列的频谱 显然 的包络具有 的形状。 时 周期性方波序列的频谱 当 不变、 时，频谱的包络形状不变，只是幅度减小，谱线间隔变小。 当 改变、 不变时，由于 的包络具有 的形状，而 ，可知其包络形状一定发生变化。 当 时，包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。 周期序列的频谱也具有离散性、谐波性，当在 区间 考查时，也具有收敛性。不同的是，离散时间周期信号的频谱具有周期性。 三. DFS的收敛 DFS 是一个有限项的级数，确定 的关系式也是有限项的和式，因而不存在收敛问题，也不会产生Gibbs现象。 1. 相乘 2. 差分 周期卷积 3.7 DFS的性质 DFS有许多性质，这里只选几个加以讨论。 ３. Paseval定理 左边是信号在一个周期内的平均功率，右边是信号的各次谐波的总功率。 这表明：一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。也表明：周期信号的功率既可以由时域求得，也可以由频域求得。 3.8 傅里叶级数与LTI系统 LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。 对连续时间系统 对离散时间系统 、 被称为系统的系统函数。 如果 则 被称为连续时间LTI系统的频率响应 如果 则 称为离散时间LTI系统的频率响应 对 而言，是以 为周期的。 如果一个LTI系统输入周期性信号 或 则 * 可见，LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号，LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。 3.9 小结 Summary 本章主要讨论了： 复指数函数是一切LTI系统的特征函数。 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法，实现了对周期信号的频域分解。 研究了傅里叶级数的性质 通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论，既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似，又研究了它们之间的重大区别。 在对信号分析的基础上，研究了LTI系统的频率响应及LTI系统对周期信号的响应。 * * 傅里叶生平 生于1768年3月21日 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示“ 1829年狄里赫利为他证明 拉格朗日的反对发表 1822年首次发表“热的分析理论”中 第3章 周期信号的傅里叶级数表示 Ⅰ. 周期信号的频域分析 III. LTI系统