体积弧长.ppt

第三节 当考虑连续曲线段 例3. 计算由椭圆 例5. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 例7. 求曲线 例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 例10. 计算由曲面 第四节 例1. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例5. 计算摆线 例6. 求阿基米德螺线 内容小结 思考与练习 2. 试用定积分求圆 3. 证 注意 一拱 的弧长 . 解: 相应于 0≤?≤2? 一段的弧长 . 解: 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 1. 已知平行截面面面积函数的立体体积 旋转体的体积 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 利用对称性 旋转而成的环体体积 V. * 二、平行截面面积为 已知的立体的体积 一、 旋转体的体积 体积 第六章 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 一、旋转体的体积 主要考虑以x轴或y轴为旋转轴的旋转体 问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的空间立体，其体积为多少？ x y o 所以 考虑以 d x 为底的窄曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的薄片 ?V 体积的近似值 其体积可以近似看作以 f (x) 为底半径，高为 d x 的 薄圆柱体的体积，即 体积元素 或 其体积为 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 解 直线方程为 过原点 及点 解 所围图形绕 x 轴旋转而 成的椭球体的体积. 解: 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 例4：求曲线 与 所围成的 两个图形中较小的一块分别绕 x 轴和 y 轴旋 转产生的旋转体的体积。 解： 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 注意上下限 ! 注 分部积分 (利用“偶倍奇零”) 解 体积元素为 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. (1994 考研) 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 二、平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算. 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 解 建立坐标系， 底圆方程为 截面面积 立体体积 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 的体积. 解 交点 立体体积 思考 二、平面曲线弧长的计算 一、平面曲线弧长的概念 平面曲线的弧长 第六章 依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加，且每个小段 都缩向一点时，若此折线的长 的极限存在, 则称此极限为曲线弧 的弧长, 并称此曲线弧 是 可求长的. 设A、B是曲线弧 上的两个端点，在 上任取分点 （ （ （ （ 定理: 光滑曲线弧是可求长的. （1）平面曲线的弧长的概念 定理 光滑曲线弧是可求长的。 简介 光滑曲线 当曲线上每一点处都具有切线，且切线 随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为 光滑曲线。 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解: 下垂 悬链线方程为 解 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 因此所求弧长 则得 弧长元素(弧微分) : 解: 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 a a ? a ? a x y o * * * *