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第五节　条件概率 第五节 条件概率 一、条件概率的定义  解：令B表示“抽得的是废品”这一事件，A表示“抽得的是不合格品”这一事件按古典概率计算易得： 1．定义: 设，A，B是两事件，且P(A)0，称 2. P（?|A）=13. 设B1，B2……两两不相容，则有 例1：100件产品，其中5件不合格品，5件不合格品中又有3件是次品，2件废品。在100件中任意抽一件。求（1）抽得是废品B的概率; （2）已知抽得的是不合格品A，它是废品  的概率P(B|A)。 1.乘法公式 由条件概率定义，若P(B)0，则P(AB)=P(A|B)P(B) 若P(A)0,则P(AB)=P(B|A)P(A) 上述公式可推广到任意有穷多个事件时的情形，例如，设A，B，C为事件，且P(AB)0，则 P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB)  这里，注意到由假设P(AB)0可推得P(A)≥P(AB)0. 例1.盒中5个白球，2个黑球，连续不放回地取3次球，求第三次才取得黑球的概率。 解：设Ai表示第 i 次取到黑球 例2. 设某同学眼镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10，试求透镜落下三次而未打破的概率。 解：Ai(i=1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”， 以B表示事件“透镜落下三次而未打破”。因为B=ā1ā2ā3 ，故有 P(B)=P(ā1ā2ā3)= P(ā1)P(ā2|ā1)P(ā3|ā1ā2)  = (1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200 法二，按题意?B=A1∪ā1A2∪ā1ā2A3而A1，ā1A2，ā1ā2A3 是两两互不相容的事件，故有 P(?B)=P(A1)+P(ā1A2)+ P(ā1ā2A3) 例3: 设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。 解: 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则ā3，ā4 分别表示事件第三、四次取到白球。 则所求概率为： P(A1A2ā3ā4)=P(ā4|A1A2ā3)P(ā3|A1A2)P(A2|A1)P(A1) 先介绍样本空间的划分的定义。 定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事件，若 （1） BiBj=Φ,i?j , i , j =1,2,…,n;（2） B1∪B2∪…∪Bn=S，则称B1，B2，…,Bn为样本空间S的一个划分。 设试验E的样本空间为S，A为E的事件，B1，B2，…Bn为S的一个划分，且P(Bi)0(i=1,2，…，n)则 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。 定理：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1，B2，…，Bn为S的一个划分，且P（A）0，P（Bi）0（i=1，2，…，n），则  例1:某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品率及提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志（1）在仓库中随机地取一只晶体管求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。 解: 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，易知，B1，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05，P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03 （1）由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)  =0.0125 例2: 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？ 例3: 据调查某地区居民的肝癌发病率为0.0004，若记“该地区居民患肝癌”为事件B1