二命题逻辑等值演算.ppt

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二命题逻辑等值演算

第二章 命题逻辑等值演算 Propositional Equivalences 2.1 等值式 定义2.1 设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式A ? B为重言式,则称A与B是等值的,记作A ?B。 即A? B的充要条件是A ? B为重言式。 试证明: ﹁(p∨q) 和(﹁p ∧ ﹁q)是等值的.这一等值式是命题的 De Morgan 定律之一. 2.1 等值式 2.1 等值式 证明命题 p→q 和 ﹁p∨q 是等值的. 2.1 等值式 1.双重否定律 A ?﹁﹁A 2.幂等律 A?A ∨A A?A ∧ A 3.交换律 A∨B ?B∨A A∧B ?B ∧ A 4.结合律 (A∨B)∨C?A∨(B∨C) (A∧B)∧C?A∧(B∧A) 5.分配律 A ∨(B∧C) ?(A∨B)∧(A∨C) A ∧(B∨C) ?(A∧B)∨(A∧C) 6.德摩根律 ﹁(A∨B) ?﹁A∧﹁B ﹁(A∧B) ?﹁A∨﹁B 7.吸收律 A∨(A ∧ B) ?A A∧ (A∨B)?A 2.1 等值式 8.零律 A ∨1 ? 1 A ∧0 ? 0 9.同一律 A ∨0 ? A A ∧1 ?A 10.排中律 A ∨ ﹁ A ?1 11.矛盾律 A ∧ ﹁A?0 12.蕴含等值式 A→B ? ﹁A ∨B 13.等价等值式 A ?B ? (A→B) ∧ (B→A) 14.假言易位 A→B ? ﹁B → ﹁A 15.等价否定等值式 A ?B ?﹁A ? ﹁B 16.归谬论 (A→B) ∧ (A→﹁B) ? ﹁A 2.1 等值式 由已知的等值式推演出另外一些等值式的过程为等值演算。 置换规则:设?(A)是含公式A的命题公式,?(B)是用公式B置换了? (A)中所有的A后得到的命题公式,若B?A,则? (B) ??(A)。 2.1 等值式 判断命题公式逻辑等价的方法: 1、真值表 2、命题公式的演算 基本等值定理; 公式的代入不变性; 等值关系的传递性。 2.1 等值式 试证明: ﹁(p∨(﹁ p∧q))和﹁ p∧ ﹁ q 是等值的 2.1 等值式 证明等值式 例:验证p?(q?r) ?(p ∧ q) ? r 2.1 等值式 命题公式逻辑等价关系的应用: 1、判定是否逻辑等价; 2、判断是否为重言式或矛盾式; 3、命题公式的化简 2.1 等值式 试证明 (p∧q) → (p∨q)是重言式. 2.1 等值式 例:判断公式(p?q) ∧ p ? q 的类型(可见例2.5) 2.1 等值式 例:什麽,如果她不来那么我也不去,没有那回事。 P:她来。 Q:我去。 例:A,B,C,D4人百米竞赛,观众甲、乙、丙预测比赛的名次为: 甲:C第一,B第二; 乙:C第二,D第三; 丙:A第二,D第四。 比赛结束后发现甲、乙、丙各对一半,试问实际名次如何(假设无并列名次)? 2.1 等值式 一、命题公式的对偶性及其对偶处理。 定义 在仅含有联结词?, ∧,∨的命题公式A中,将 ∨换成∧, ∧换成∨,若A中含有0或1,就将0换成 1,1换成0,所得命题公式称为A的对偶式,记为A*. 从定义不难看出,(A*)* 还原成A 2.1 等值式 定理 设A和A*互为对偶式,p1,p2,…,pn是出现在A和 A*中的全部命题变项,将A和A*写成n元函数形式, 则 (1) ? A(p1,p2,…,pn) ? A* (? p1, ? p2,…, ? pn) (2) A(? p1, ? p2,…, ? pn) ? ? A* (p1,p2,…,pn) 例:(p∧q)∨(﹁p∨(﹁p∨q)) ?﹁p∨q 则:(p∨q)∧(﹁p∧(﹁p∧q)) ?﹁p∧q 二、命题公式的进一步分类。 命题公式的标准化——范式

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