习题课曲线积分.ppt

曲线积分的计算法 2. 基本技巧 计算 计算 例14. 计算 例15. 计算 解法2 思考题解答: 例1 6 . * 曲线积分 联系 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限 计算 线性、可加、有方向 线性、可加、无方向 性质 变力沿曲线作功 曲线形构件的质量 背景 定义 对坐标的曲线积分 对弧长的曲线积分 1. 基本方法 曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) (1) 统一积分变量 转化 定积分 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 . 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 提示: 利用极坐标 , 原式 = 说明: 若用参数方程计算, 则 二、典型例题 计算 其中L为圆周 例1 其中L为摆线 上对应 t 从 0 到 2? 的一段弧. 提示: 例2 其中?由平面 y = z 截球面 原式 = 提示: 因在 ?上有 故 从 z 轴正向看沿逆时针方向. 例3 例4 计算 所围成的在第三象限的扇形的整个边界 解 如图 L1 L1 L2 L2 L3 L3 L=L1+L2+L3 解 (如下图) 解 其中L为 例7 计算 取顺时针方向 在原点不连续， 以原点为心，作一半径充分小的圆周 取逆时针方向 由于 L 所围区域包含原点 记L和 所为成的区域为D1 ，由Green公式 解 解 令 得 由 使得在不经过 的值, 的区域上 与路径无关 , 并求当L为从A(1,1）到B(0,2)时 的值。 例9 确定参数 A(1,1) B(0,2) A C B 如选路径 C(1,2) 则 积分结果不易求出 D B 但如选路径A D(0,1) 则 其中L为 例10 计算 其中L为由 例11 计算 沿 到 逆时针 例12 验证: 在整个xoy面内, 是某个 函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 其中 是圆周 例13 计算 若从 轴正向看去,这圆周是取逆时针方向 其中? 为曲线 解: 利用轮换对称性 , 有 利用重心公式知 (?的重心在原点) 其中L 是沿逆 时针方向以原点为中心, 解法1 令 则 这说明积分与路径无关, 故 a 为半径的上半圆周. 它与L所围区域为D, (利用格林公式) 思考: (2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分: (1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分: 则 添加辅助线段 (1) (2)