§复变函数.ppt

§1.2 复变函数 1、区域与Jordan曲线 定义(区域)：具有下列性质的非空点集D称为区域， (1) 在D中的每一点z，都必有以这点为圆心的一个充分小的 圆包含于D内(开集性) (2) D内任意两点，都可以用一条由D内的点所构成的曲线进 行连通(连通性) 在解析函数理论中，函数的定义域不是一般的点集，而是区 域，区域是复变函数的基本概念。 区域通常用不等式表述。例如： |z|r，表示以原点为中心，半径为r的圆内区域； 0arg(z)?，表示实轴上部的上半空间； Im(z)0，表示实轴下部的下半空间 定义(边界)：凡本身不属于D，而在它任意小邻域内都含有属于D的点的那些点，称做区域D的边界点(界点)；而所有界点的集合称为边界；区域D连同它的边界合在一起称为闭区域(闭域) 。 定义(边界的方向)：如果沿着边界走，区域保持在边界的左方，则称走向为边界的正向；反之称为边界的逆向。 定义(重点，Jordan曲线)：若x(t), y(t)为在[?, ?]连续的两个实值函数，则： ，表示复平面上的一条连续曲线。若t1≠t2有z(t1)=z(t2)，则称此z点为曲线的重点。凡没有重点的曲线称为简单曲线(Jordan曲线)；而同时有z(?)=z(?)，则此简单曲线称为简单闭曲线(Jordan闭曲线)。 定义(连通)：如果在区域D内任意画Jordan闭曲线，曲线所围内部的任意一点都属于D，则称区域D为单连通区域；否则称为复连通区域。 概念小结： 1、区域 （开集性，连通性） 2、边界及边界方向的定义 3、简单曲线，闭曲线 4、单连通及复连通 2、复变函数 例1: 定义：设E为一复数集，如果E内每一复数z有唯一确定的复 数w与之对应，则称在E上确定了一个单值函数w=f(z)(z∈E)。 如果对于自变量z，对应着多个w，则称在E上确定了一个多 值函数w=f(z)(z∈E)。这里E称为定义域，而w的全体称为值域。 例2: 设w=f(z)定义在E上，并令z=x+iy,w=u+iv，显然，u,v皆为x,y的 函数，因而，一般可将复变函数表示为： 3、复变函数的极限和连续性 定义(极限)：设函数f(z)在z0的去心邻域内有定义，如果存在复 数A，对于任意?0存在?0，使当|z-z0|?，有： ， 称当 时f(z)的极限存在，记为： 定义(函数连续)：设函数f(z)在z0的邻域内有定义，且： 则称函数f(z)在z0连续；函数在区域D上每一点都连续，称函数 为在区域D内的连续函数。 从定义上来说，实变函数与复变函数的极限及连续性定义没 有不同。