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复变函数 第一章 复数和复变函数 §1.1 复 数 一、复数的概念 二、复数的四则运算: 设 1.加.减法: 2.乘法: 3.除法: 理解 例1.求下列复数的实部和虚部,共轭复数 例2.设z=x+iy, y≠0, z≠±i, 证明:当且仅当 时, 是实数 证明: §1.2 复数的几种表示 一.复数的表示方法: 1.代数表示: z=x+iy 2.点表示: 3.向量表示: 4.三角表示: 5.指数表示: 二. 复数的模与辐角 1.模: 向量的长度, |z|. 2.辐角: 1)定义: Argz. 2)特点:有无穷个 3.辐角主值: 4.注:(1)当z=0时,辐角无意义; (2)共轭复数： 三. 用复数的三角表达式作乘,除法 四.复数的乘方与开方 1. 复数的乘方 1)定义: 2) 若 ，则有 3) 公式:当 时， 2.开方 1)定义: 复数z的n次方根 2)三角表示式: 例6. 解方程 . 五.模的三角不等式 §1.3 平面点集 一. 开集与闭集 1.邻域: 平面上以 为中心， 为半径的开圆表 示为： 称为 的邻域. 去心邻域: 由 所确定的点集，称 为 的去心邻域， 设G为一平面点集 2.内点: 为G中任一点,若存在 的一个邻域,该邻域内 的所有点都属于G,则称 为G的内点. 开集: 如果G内每一个点都是它的内点,则称G为开集. 3.边界点: 是一个点,若在 的任一邻域内既有G的点 也有非G的点,则称 是G的一个边界点 边界: G的边界点全体 4.闭集: 若G的边界也属G,则称G为闭集 5.有界集:若存在一个以z=0为中心的圆盘包含G,称G为 有界集 无界集:否则称G为无界集. 例: 1)G={z:|z|R} 开集; 2)G={z:|z|≥R} 闭集; 3)G={z:|z|R},|z|=R是G的边界 二.区域: 1.连通:D中任何两点都可用完全属于D的一条折线 连接起来. 2.区域:D是开集且连通,记为D. 3.闭区域:区域D与边界一起构成闭区域(区域), 记为 例:指出下列各式所表示的点集是怎样的图形并指出哪些是区域. 1) 2) |z+2-i|≥1 3）0argz1/3 解: 1)不含y轴的右半平面,区域; 2 )以z=-2+i为圆心,1为半径的圆周及其外部区域; 闭区域; 3)介于argz=0和argz=1/3之间的一个三角形区域, 区域. 三．平面曲线 1. 曲线表示方法: 1)用实变数的复值函数表示: z(t)=x(t)+iy(t) (a≤t≤b) 2)用动点z所满足关系式表示: 例:以z=0为中心,以a为半径的圆周 (1) 用参数方程可表示为: z=a(cost+isint) (2)用动点z所满足关系式表示为:|z|=a 例: 满足下列关系的z是什么曲线? 1) |z-a|=|z-b| (a,b为复常数). 2) Re(1/z)=k (k为实常数). 解: 1)以a,b为端点线段的垂直平分线; 2) Re(1/z)=k (k为实常数). ２．概念： 1）重点：设Ｃ：z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线， z(a)与z(b)分别表示Ｃ的起点与终点，对于 满足 　　　的 　 ,当 　 而有 　　　　　　　时，点 　　称为曲线 C的重点， ２）简单曲线：无重点的连续曲线称为简单曲线或约