[]欧氏空间和酉空间.ppt

哈尔滨工程大学理学院应用数学系 例2． 为闭区间 上的所有实连续函数 所成线性空间，对于函数 ，定义 （2） 则 对于（2）作成一个欧氏空间. 证： 且若 则 从而 故 因此， 为内积， 为欧氏空间. 则称 为 的复共轭转置矩阵。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质： 定义：设 ， 用 表示以 的元素的共 轭复数为元素组成的矩阵，记 补充:复共轭转置矩阵 定义：设 ,如果 ，那么称 为 Hermite矩阵, 如果 ，那么称 为反Hermite矩阵。 定义:设V是C上线性空间,存在映射: 使得对任意x, y, z∈V, c∈C,有 (1). (2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z) (3). (cx, y) = c ( x, y) (4). (x, x) ≥ 0且等号成立当且仅当 x = 0. 则称在V上定义内积( ,). V称为复内积空间. 有限维复内积空间称为酉空间. 　 2、酉空间的定义 例3 设 是 维复向量空间，任取 规定 容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间 例4 在 中,对 定义: 则 是酉空间 Cn中定义的内积(x,y)=yHx称为标准内积。 3、几点说明: 欧氏空间和酉空间统称为内积空间。 当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记x⊥y. 定义x的长度为: 定义x, y的夹角θ的余弦为: 定义x与y的距离为: 1. 欧氏空间的性质： 二, 内积的简单性质 2. 酉空间的性质： 3. 定理: 设V是实的或复的内积空间,设x, y∈V, c为常数 (实数或复数), 则 (1). (2). (Cauchy-Schwarz不等式 ) (3). (三角不等式) 三, 内积在基下的矩阵 定义：设 是 维内积空间， 为其一组 基底，令: ,则称: 为内积在基 下的矩阵(又称度量矩阵) 在线性空间 中,向量是可以由基来唯一的表 示,而内积空间是赋予了运算的向量空间,即是两个 向量的运算,所以,自然要考虑到内积与基的关系 定理1:设 为酉空间 的一组基,则: (1) 内积在基下的矩阵 是Hermite矩阵 (2) ,其中: (3) 若 ,均有: 证明： （1）由于 （2）设 （3） 所以 ， 定理2:设内积空间 的内积在两组基 , 下的矩阵分别为 和 ,并且: ,则: 推论:设 为欧氏空间 的一组基,则: (1) 内积在基下的矩阵 是实对称矩阵 (2) ,其中: * * * * * * * * * * * * * * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics * 矩 阵 论 电 子 教 程 Department of Mathematics, College of Sciences 内 积 空 间 第 二 章 教 学 内 容 和 基 本 要 求 1.理解内