[例]试用长除法求的z反变换.ppt

[例2-6] 试用长除法求  的z反变换。 解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) 5. 共轭序列 10.序列的卷积和(时域卷积定理) 11.序列相乘(Z域卷积定理) 12.帕塞瓦定理(parseval) 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略） §4-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则 2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有： =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； σ Ω= 0，S平面的实轴， ω= 0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线， ω= Ω0T,Z:始于 原点的射线；Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面. 二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数， ω表示Z平面的辐角，且 。 0 jIm[Z] Re[Z] (2).ω与Ω的关系（ω=ΩT） ω 所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。 * * *双边序列可分解为因果序列和左边序列。 *应先展成部分分式再做除法。 4-Z) 4Z+Z + —Z + —Z + —Z + 2 4 1 3 1 16 4 5 1 64 ... 16 Z 16 Z - 4 Z 2 4 Z 4 Z - Z Z Z - — Z — Z — Z - — Z — Z 2 2 3 3 3 1 4 1 4 1 4 4 4 4 1 16 5 5 1 16 . .. Z- —) Z 1 4 1+ — Z + — Z + — Z 1 4 -1 1 16 -2 1 64 -3 ... Z- — 1 4 — 1 4 — 1 4 - — Z 1 16 -1 — Z 1 16 -1 — Z 1 16 -1 - — Z 1 64 -2 — Z 1 64 -2 — Z 1 64 -2 - —— Z 1 256 -3 —— Z 1 256 -3 ... §4-4 Z变换的基本性质和定理 如果 则有： *即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。 1.线性 [例2-7]已知 ,求其z变换。 解： 2. 序列的移位 如果 则有： [例2-8] 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。 3. Z域尺度变换(乘以指数序列) 如果 ，则 证明： 4. 序列的线性加权(Z域求导数) 如果 ，则 证明： 如果 ，则 证明： 6. 翻褶序列 如果 ，则 证明： 7. 初值定理 证明： 8. 终值定理 证明： 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故 因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在 上收敛。所以可取z 1的极限。 9. 有限项累加特性 证明： 证明： [例2-9] 解： 其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。 （证明从略） [例2-10] 解： 如果 则有: *几点说明： 序列x(n)的z变换为 ，考虑到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变 换就等于理想抽样信号的拉氏变换。 因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部Ω相对应。 → σ σ 0,即S的左半平面 r1,即Z的单位圆内； → 0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。