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1 * 第四章 两个自由度系统的振动 §4—1 引言 §4—3 两个自由度系统的自由振动 §4—2 拉格朗日方程 §4—1 引言 第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题。但是，工程中大量出现的还是多自由度系统乃至无限自由度系统的振动问题。而两个自由度系统的振动则是多自由度系统中最简单的。 两个自由度系统，顾名思义，就是说：系统的运动状态需要而且可以由两个独立坐标来描述的，称之为两个自由度系统。 两个自由度系统虽然比单自由度系统只多一个自由度，两者之间却有着质的区别。后者的系统固有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。 §4—2 拉格朗日方程 在处理一些简单的动力学问题时，可以用牛顿第二定律来建立运动微分方程并求解（用动静法把惯性力当作外力与其它力组成平衡力系的方法也属此例），这叫做矢量力学或牛顿力学。其优点是简单、直观。但是，对于一些较复杂的动力学问题，用牛顿力学方法就很困难，甚至不可能，因此人们从能量的观点去建立运动微分方程再求解之，这叫做分析力学，我们这里研究的是动力学问题，故又称分析动力学。在分析动力学中有一个很著名的、经常用到的方程叫做拉格朗日方程，我们先讲它的基本思想，然后介绍其推导过程。 三、保守系统的拉格朗日方程 保守力——如果一个力所作的功只与运动物体（力作用点）的始末位置有关，而与运动物体所经过的路径无关，这样的力称为保守力，又称为有势的力。 〔注：还有其他说法：在闭合路径上有势力作功为零，其元功是某一函数的全微分，这些叫法都等价〕 保守力有重力、万有引力、弹性力等。但摩擦力及我们这里经常讲的阻尼力都不是保守力。 保守系统——只有保守力做功的系统称为保守系统。保守系统的特征是遵循机械能守恒定律（即T+U=C）。 非保守系统当然也应遵守能量守恒定律（这是普遍性定律），但其机械能不守恒，而是有一部分由于摩擦或阻尼转换成了热能。 （i＝1，2，……n） ——此即保守系统的拉格朗日方程。 上式中qi为第i个广义坐标； 为相应于第i个广义坐标上物体运动速度，称为广义速度。T是系统的动能；U是系统的势能；Qi为相应于第i个广义坐标上外力；D是能量散逸函数。 对于自由振动，没有Qi项。 对于保守系统，没有 项。 我们还会发现，在有些情况下，动能T只与广义速度有关，而与广义坐标（位移）无关，因此，这时 一项也不出现了。 我们前边说过，阻尼力属于非保守力。如果系统中存在阻尼，那么，该系统是非保守系统，即系统的机械能不是常数，而存在着某种类型的能量散逸。 于是得到一组微分方程： ——此即非保守系数的拉格朗日方程 四、非保守系统的拉格朗日方程 §4—3 二自由度系统的自由振动 一、运动微分方程 由于是无阻尼系统的自由振动，故拉氏方程为： 图示AB为刚性杆，质量M，两端悬挂弹簧其刚度为k。这是两个自由度的系统，取悬挂点A，B铅垂方向位移y1，y2作为描述运动状态的坐标，向下为正，以静平衡位置o为圆点。 〔注：平动指质心平动；转动指绕质心转动〕 〔注：势能以静平衡位置为o点〕 〔注：转角 〕 拉氏方程中广义坐标qi在这里即为y1，y2。 由拉氏方程有： （1） 同理对y2有： （2） 这就是该二自由度系统作自由振动的微分方程组。我们看到： 1、二自由度系统运动微分方程不是一个，而是两个。即方程数目与自由度一致。 2、第一个方程基本是对y1坐标的，但却引进了 项，第二个方程基本是对坐标y2的，却引进了 项。我们把这样的牵引项称为“耦合项”。本例中，这种耦合项体现了某种惯性力的作用，我们就说所取坐标y1与y2之间存在着“惯性耦合”。（动耦合）（coupling） 二、固有频率和固有振型，主振动 在研究单自由度系统自由振动时我们说过，自由振动对机械结构的危害不大，研究单自由度系统自由振动的主要目的是求固有频率。 对于二自由度乃至多自由度系统来说，研究自由振动的主要目的是求固有频率和固有振型。 求解微分方程组（1）、（2），这是二阶常系数线性常微分方程组，设它的解具有下述形式： 即假设系统偏离平衡位置作自由振动时，存在着y1与y2按同一频率ω，同一相位角φ作简谐振动的特解。 〔注：一般地，两自由度系统自由振动由两个不同频率的简谐振动合成，仍是周期性运动，但不再是简谐