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第三节 X射线的几何原理 2.2.1 X射线的衍射 2.布拉格定律 1）布拉格方程的导出 设一束平行的X射线(波长λ)以θ角照射到晶体中晶面指数为(hkl)的各原子面上，各原子面产生反射。 见图 任选两相邻面(A1 与A2)，反射线光程差 δ= CB+BD=2dsinθ 干涉一致加强的条件为δ=nλ 则2dsinθ =nλ(布拉格方程) 上述方程是英国物理学家布拉格父子于1912年导出，故称布拉格方程。 Bragg方程 2）布拉格方程的讨论 由布拉格方程可以看出： 选择反射 布拉格方程描述了“选择反射”的规律，产生“选择反射”的方向是各原子面反射线干涉一致加强的方向，即满足布拉格方程方程。入射的平行光照射到晶体中各个平行原子面上时，各原子面各自产生的相互平行的反射线间的干涉作用导致了选择“反射的结果”。 布拉格方程表达了反射线空间方位（θ）与反射晶面面间距（d）及入射线方位和波长（λ）的互相关系。 入射线照射各原子面产生的反射线实质是各原子面产生的反射方向上的相干散射线。而被接受记录的样品反射线实质是各原子面反射线方向上散射线干涉一致加强的结果，即衍射线。 衍射产生的必要条件：“选择反射”即反射定律+布拉格方程 衍射产生的极限条件 nλ = 2dsinθ 而sinθ ≤1 对衍射而言，n的最小值为1，所以在任何可观测的衍射角下，产生衍射的条件为λ2d。这就是说，能够被晶体衍射的电磁波的波长必须小于参加反射的晶体中最大面间距的2倍，否则不会产生衍射。 当X射线的波长一定时，晶体中有可能参加反射的晶面族也是有限的，它们必须满足dλ/2，即只有晶面间距大于X射线波长一半的晶面才能发生衍射。。即λ一定时， d值不同，会出现不同的θ角，也就是用单色光照射晶体时，每个晶面都有一个不同的衍射角θ 干涉面和干涉指数 我们将布拉格方程中的n隐含在d中得到简化的布拉格方程： 把（hkl）晶面的n级反射看成为与（hkl）晶面平行、面间距为(nh,nk,nl) 的晶面的一级反射。面间距为dHKL的晶面并不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格方程所引入的反射面，我们把这样的反射面称为干涉面。干涉面的面指数称为干涉指数。 衍射花样和晶体结构的关系 从布拉格方程可以看出，在波长一定的情况下，衍射线的方向是晶面间距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，可得： 由此可见，布拉格方程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化，但是并未反映出晶胞中原子的品种和位置。 测得2θ角能得到晶体大小和形状的信息，通过测定衍射强度能得到晶胞中原子的排列方式与原子种类的信息。 衍射矢量方程和厄尔瓦德图解 在描述X射线的衍射几何时，主要是解决两个问题： 1. 产生衍射的条件，即满足布拉格方程； 2. 衍射方向，即根据布拉格方程确定的衍射角2 ?。 为了把这两个方面的条件用一个统一的矢量形式来表达，引入了衍射矢量的概念。 倒易点阵中衍射矢量的图解法：厄尔瓦德图解. 衍射矢量 如图所示，当束X射线被晶面P反射时，假定N为晶面P的法线方向，入射线方向用单位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示，则S-S0为衍射矢量。 从图看出，只要满足布拉格方程，衍射矢量S-S0必定与晶面法线N平行。 因此|S-S0|=2Sin ?= λ/d HKL，将此与倒易点阵联系起来，则可看出，衍射矢量实际上相当于倒易矢量。由此可见倒易矢量本身就具有衍射属性。 S/ λ-S0 / λ＝r*=Ha*+Hb*+Hc* 此式即为倒易点阵中的倒易矢量方程。 晶面间距 晶面间距是指两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常用dhkl或简写为d来表示。 各晶系的面间距有不同的公式，如： 立方晶系： dhkl=a（h2+k2+l2）1/2 正方晶系：dhkl=（h2/a2+k2/a2+l2/c2）-1/2 斜方晶系：dhkl=（h2/a2+k2/b2+l2/c2）-1/2 * * X射线作为一电磁波投射到晶体中时，会受到晶体中原子的散射，而散射波就好象是从原子中心发出，每一个原子中心发出的散射波又好比一个源球面波。由于原子在晶体中是周期排列，这些散射球面波之间存在着固定的位相关系，会在空间产生干涉，结果导致在某些散射方向的球面波相互加强，而在某些方向上相互抵消，从而也就出现衍射现象，即