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曲线积分与曲面积分 第八节 斯托克斯(stokes)公式 Green公式,Gauss公式,Stokes公式与N-L公式 一样,是建立函数在积分域内部的积分与边 界上的积分之间的关系. 4个公式的作用(1)理论上;(2)双向的计算.但, Green公式,Gauss公式,Stokes公式多用于将 边界线(面)向积分域内部转化;与此同时,被 积函数是向求导的方向转化.这时要注意,变 量的取值范围发生了改变. 在遇到奇点或边界不封闭时,要加辅助线,多 数为由平行于坐标轴的直线组成的折线;或 加辅助面,多数为平行于坐标面的平面. 二、物理意义---环流量与旋度 四、小结 * 高等数学（下） * 高等数学（下） 河海大学理学院 一、斯托克斯(stokes)公式 --------- 斯托克斯公式 是有向曲面 的 正向边界曲线 右手法则 证明 如图 只须证 ∵ ∴ 根椐格林公式 平面有向曲线 空间有向曲线 同理可证 故有结论成立. 另有四种形式,例如: 便于记忆形式 Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 二、简单的应用 解 由Stocks公式, 解 由Stocks公式, 有 取∑：x＋y＋z ＝ 1，上侧 即有 解 则 即 解 1. 环流量的定义: 利用stokes公式, 有 12π 2. 旋度的定义: 即 斯托克斯公式的向量形式 其中 斯托克斯公式的又一种形式 其中 Stokes公式的向量形式 Stokes公式的物理解释: ＝0 解 空间曲线积分与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 三、 * *