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　第二节 Cauchy积分定理 第三节 复合闭路定理 一、复合闭路定理 三、典型例题 * * (1) Green公式: 一、复习 (2) 积分与路径无关的充要条件： 命题1、对于 中的任何曲线 ， 与路 径无关的充要条件是：对于 中的任何简 单闭曲线 ， 定理1、（柯西-古萨积分定理） 1825年 Cauchy 建立该定理时，对 u, v 加了导数连续性条件；Gaursat 去掉了导数连续性的假设。 注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线. 注意3 定理的条件必须是“单连通区域”. 解 例1 根据Cauchy积分定理, 有 二、变上限积分与原函数 定义：设 在单连通区域 内连续，称复变函数： 为变上限积分（积分上限函数） 积分上限函数的求导 定理：设 在单连通区域 内连续，且对 内任何简单闭曲线 都有： 则变上限积分在 内解析，且： 复变量定积分的计算公式: 结论：若　　　　　 ，则　　为　　的一个原函数; 是 的一个原函数 定理:　　函数　　是单连通区域 内的解析函数， 　　是它的一个原函数，对于任意的两点 、有: 例3、计算： 例4、计算： 那末 证明 A1 A2 A3 A4 C1 C2 E F G I H 二、特殊情况：闭路变形原理 由复合闭路原理 这就是闭路变形原理 解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 说明： 例1 解 依题意知, * * *