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高等数学多媒体课件 第七章 多元函数微分法及其应用 主 要 内 容 第一节 多元函数的基本概念 定义4 设函数f(x,y)的定义域为D， 是D的聚点.如果函数f(x,y)在点 不连续，则称 为函数f(x,y)的间断点. 例如函数 其中定义域 ，O(0,0)是D的聚点.f(x,y)当 时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点； 圆周 上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点. 其定义域为 又如函数 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数. 多元初等函数：由常数及具有不同变量的一元 基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步 骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫 多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域． 解: 原式 例6（课本 例9）求 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 3. 多元函数的极限 返回 上页 下页 目录 华南农业大学理学院数学系 牛顿（Newton） 莱布尼兹（Leibniz） 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的微分法 第五节 隐函数的微分法 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 第七章 (Conception of functions of several variables) 四、多元函数的连续性 一、平面点集 n 维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 五、小结与思考练习 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作 E={(x , y)|(x , y)具有性质P}. 例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 一、平面点集 n 维空间 邻域 点集 称为点 P0 的? 邻域. 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 . 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. (1) 内点、外点、边界点、聚点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含有 E的点也含 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 有不是E的点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2. 区域 若对任意给定的? , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 内点一定是聚点；边界点可能是聚点； 说明： 例 (0,0)既是边界点也是聚点． 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． 开集: 如果点集E的点都是内点，则称E为开集. 内点 开集 闭集：如果点集E的余集 为开集，则称E为闭集. 开集 既非开集，也非闭集. (2)开集、闭集 连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集. 例如： 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集