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* Gauss 公式 前面我们将 Newton-Lebniz 公式推广到了平面 区域的情况，得到了Green 公式。此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。下面我们再把Green 公式做进一步推广，这就是下面将要介绍的Gauss 公式，Gauss 公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，同时Gauss 公式也是计算曲面积分的一有效方法。 一、 Gauss 公式 定理 o x y z 证明 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好为两个 以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与 坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理 合并以上三式得： —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 注 不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面 分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 故一般地 1。 若 2。公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分 例1 解 二、简单的应用 (利用柱面坐标得) 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 故所求积分为 注 ① 应用Gauss 公式计算曲面积分时，要求 曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添加 一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上， 曲面积分应是容易计算的，用Gauss 公式计算 三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往往 可使计算简化 ② Gauss 公式要求曲面取外侧这一点也不容 忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容，若不满足外侧的要求，可利用反向性予以调整 （相差一个负号） ③可以证明在特殊情况下， Gauss 公式就是 Green 公式 例3 （Green 第一公式） 设函数 u ( x , y , z ) 和 v ( x , y , z ) 在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数，证明 证 在Gauss 公式中 令 移项即得Green 第一公式 例4 证 由Green 第一公式 （Green 第二公式） 两式相减得证Green 第二公式 例5 计算 解 取下侧 o x y z z = 1 由Gauss 公式得 而曲顶柱体的体积（用柱坐标） 或用先重后单法 三、沿任意闭曲面的曲面积分 为零的条件 对空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面 所围成的区域全属于G ，则称G 为空间二维单连域 与沿任意闭曲线的曲线积分为零的问题相类似 有下述结论 定理 设G 是空间二维单连域 , P, Q ,R 在G内具有 连续的一阶偏导数，则曲面积分 沿G内任意闭曲面的曲面积分为零的充要条件是 在G内除点M0 （x0 , y 0, z0 ) 外连续 称为奇点 则G内任意包含M0 的同侧闭曲面的曲面积分相等 四、物理意义----通量与散度 1. 通量的定义: *