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* §1.4 条件概率 由甲乙两厂生产, 产品结构 一批同型号产品 合计 次 品 合格品 合计 乙厂 甲厂 等级 数量 厂别 从这批产品中 任取一件, 如下: 取到次品 的概率为 若已知取出的产品 是甲厂生产的, 该产品为次品 例 的概率为 合 计 次 品 合格品 合计 乙厂 甲厂 等级 数量 厂别 记A为 “取出的产品, 是甲厂生产的” B为 “取出的产品为次品” 的概率, 记为 在事件 已经发生的条件下, 事件 发生 一般情况下, 合 计 次 品 合格品 合计 乙厂 甲厂 等级 数量 厂别 记A为 “取出的产品, 是甲厂生产的” B为 “取出的产品为次品” 对于几何概型， 在平面有界区域Ω内， 等可能地 投入点, Ω A 设在n次试验中, 于是, n次 当n??时, 对于频率: 事件AB发生了 也是在事件A发生的条件下 B发生的次数. k次, 事件A发生了m次, 事件B发生的频率为: 频率就会接近于 故可得 s次 m次 k次 概率, 在事件A发生的条件下, 为在事件A发生的条件下, 且 定义1.3 则称 事件B发生的条件概率. 给定概率空间 二、 条件概率的定义 是其上的两 个事件, 对事件域 中的任一事件B, 都对应条件概率 成为 上的函数, 称为在事件A发生的条件 下的 条件概率测度. 条件概率满足 概率公理化定义的 (2) 对任一事件B, 有 (3) 可列个事件 两两不相容, 则 三个条件。 因此 当n个事件 互斥时， (1) 证3) 时, 证1) 例 有男生 人, 有女生 人; 来自北京的 有 人; (以事件C表示) 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的 人中 有32名男生, 8名女生; 试写出 解 (以事件A表示) (以事件B表示) 全年级100名学生中, 例 有男生 人, 有女生 人; 来自北京的 有 人; (以事件C表示) 其中男生12人, 女生8人; 免修英语的 人中 有32名男生, 8名女生; 试写出 解 (以事件A表示) (以事件B表示) 全年级100名学生中, 例 超过3万小时的概率 使用时间超过5万小时的概率为 一台 3万小时, 求这台电视机使用时间 超过5万小时的概率. 解 “使用时间超过3万小时” “使用时间超过5万小时” 要求 为0.6 电视机已经使用了 某牌号电视机的使用时间 设 例 有95件长度合格, 有93件 直径合格, 有90件两个指标都合格, 求 (1) 在长度合格的情况下, 直径合格的概率. (2) 在直径合格的情况下, 长度合格的概率. “任取一件,长度合格” 解 设A表示 “任取一件,直径合格” B表示 “任取一件, (1)在长度合格的情况下, 直径合格的概率: (2) 在直径合格的情况下, 长度合格的概率: 在100个圆柱形零件中, 两个指标都合格” 三、乘法公式 当 时, 当 时, 乘法公式: 对于两个事件 如果 , 则有 如果 , 则有 则有 如果 对于k个事件 一般地, 推广: 如果 则有 证 对于三个事件 例 其中只有一支“好”签, 4个 随机地取走一签, (不放回 ), 求每个人抽 解 “第 个人抽到好签” 人依次 到“好”签的概率. 签筒中放有4支签, 设 表示 例 其中只有一支“好”签, 4个 随机地取走一签, (不放回 ), 求每个人抽到 解 “第 个人抽到好签” 人依次 “好”签的概率. 签筒中放有4支签, 设 表示 例 其中m个黑球, n个 白球, 随意地每次抽一球, “第 次取到黑球” 设 表示 解 (不放回) 黑球的概率. 求第 次才取到 黑 白 一个袋子中装有m+n个球, 第 次才取到黑球 四、 全概率公式 例 A B 则 若 例 解 加工同样的零件, 甲机床的 加工的零件 乙机床的废品率为 已知甲机床加工的零件数 比乙机床多一 废品率为 倍, 求: 是合格品 的概率. “取出的零件是甲机床加工的.” “取出的零件是乙机床加工的.” 则 表示 放在一起, 甲乙两台机床 A B 设A表示 任取一个零件 ( 记为B ) B 构成一完备事件组, 则对任一事件B, 有 若三个事件 例 价格的变化, 分析影响股票价格的基本因素, 如利率. 利率不变的概率为 在利率下调的情况下, 调 假定利率 据经验估计, 为解一支股票未来一定时期内 下 的概率为 该股票价格上涨的概率为 下, 价格上涨的概率为 求该股票价格上涨 分别表示 构成一完备事件组