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 第三章 复变函数的积分 第3.1节 柯西定理 1、复变函数的积分 2、几个引理 3、柯西定理 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分 复变函数的积分的性质： 复变函数的积分的性质： 例1 例2 几个引理 引理的证明 引理的证明 引理的证明 引理的证明 引理的证明 引理的证明 引理的证明 原函数 原函数 引理2.2 引理2.3 引理2.3的证明： 柯西定理 柯西定理的证明： 柯西定理的证明： 柯西定理的证明 柯西定理证明 定理3.1‘ 定理3.2的证明： 例1 柯西定理的注解： 柯西定理的注解： 柯西定理的注解： 柯西定理的注解： 柯西定理的注解： 例2： 例2 例2： It’s The End！ Thank You！ 并且用 表示f(z)在这些圆盘中的原函数。取 其中 是C上依序按反时针方向取的。由引理2.3，有 这里，用 表示沿C从 的弧上的 积分，用 表示从 的线段上的积分。由引理2.3，有 因为构成中的一条闭合折线，所以由引理2.1，得 下面证明（2）成立。设 是在D内连接 及z两点的另一条简单曲线。则 是D内的一条简单闭曲线，由（1），有 而 所以定理的结论成立。? 定理3.1’ 设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么 定理3.2 设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么f(z)在D内有原函数。 证明：取定 ，由定理3.1，得 是在D内确定的一个函数。取 充分接近，把 D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线 与连接及z的线段的并集。于是有 这里积分是沿 及z的联线取的，同样可证，有 例1、设D是不含a的一个单连通区域，并且 那么 其中m是不等于1的整数。另外，还设D在复平面上沿从a出发的任何射线割开而得得区域内，我们有 其中对数应理解为Ln(z-a)在D内的一个解析分支在z及 的值。 注解1、我们可以用原函数求解析函数的积分； 注解2、区域的单连通性不能直接取掉。 注解3、柯西定理可以推广到多连通区域：设有n+1条简单闭曲线 曲线 中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在 的内区域， 围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域 。 设f(z)在 上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有 其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。即沿 按反时针方向，沿 按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。因此 也有： 注解4、上面规定区域D的方向称为正向，以后，我们总是规定取正向，除非另有说明； 注解5、多连通区域内的不定积分与多值函数： 设f(z)是多连通区域D的解析函数。在D内作连接 及z两点的任一条简单曲线。在某两条这样的曲线所包成的闭区域上，f(z)可能不解析，因此不能应用柯西定理，所以f(z)沿这两条曲线的积分可能不相等。假定这两个积分不相等。那么函数： 是多值的。 可是z当属于包含在D内的某一单连通区域D’时，取曲线如下：从 沿一个固定的简单曲线到D’内一点，然后从沿 在D’内一条简单曲线到z。沿这种曲线取积分所得的函数F(z)在D’内解析。改变从 的曲线，我们能够得到不同的解析函数；它们是F(z)在D’内的不同解析分支。 作连接 的两条简单曲线 ，取定Argz在 的值为 。 例2、在圆环内 解析，在D内取定两点 当z沿 从 连续变动到 时，z的幅角从 连续变动到 。 于是当z沿 从 连续变动到 时，z的幅角从 连续变动到 。 现在求 沿的 积分。令 ，则 从而 同样求得 这样，在含 的一个单连通区域 （在D内）内，相应