晶体的结构的周期性2讲解.ppt

（1）量纲的关系： 正格子与倒格子是互易的，在两种格子空间中，长度的量纲互为倒数。 （2）原胞体积的关系： 倒格子原胞的体积为 正格子原胞的体积为 （3）倒格矢与晶面族的关系： 倒格矢 与正格子中面指数为（h1,h2,h3）的晶面族正交，且有：G = 2π/d 。这里 d 表示该晶面族的面间距离。 证明： a1 a2 a3 A B C O 正格子中面指数为（h1,h2,h3）的晶面族中最靠近原点的晶面ABC在三个基矢上的截距分别为： a1/h1 , a2/h2 , a3/h3。 在晶面ABC上取两个矢量：AC 和 AB。 3、倒格子与正格子的关系： a1 a2 a3 A B C O 但有： AC AB 应有： 所以有： 和 所以G与晶面族（h1,h2,h3）正交。 而面间距 d 就是原点到 ABC 面的距离，所以有： 在正格子中，知道了G就明确了该族晶面的方向和晶面间的距离。 在倒格子中，确定G就确定了倒易空间中的一个倒格点。 由此可见： 倒易空间中的一个倒格点 正格子与倒格子点阵的对应关系 倒易空间中有无穷多个倒格点 正格子中有无穷多族晶面 所以，可以用倒格子空间的点来代表正格子空间的一族晶面。 X射线在晶面上发生反射、衍射，在倒格子空间中就对应到对一个点的情况。 正格子中的一族晶面 正格子： fcc bcc 简单立方 六方 倒格子： bcc fcc 简单立方 六方 4、讨论： 在固体物理中引入倒格子的必要性： （1）物理学中对波动问题的讨论： a) 波动 —— 是物理学中所讨论过的具有空间周期性特点的典型问题。 b) 为了对波的空间周期性的特点进行描述，物理学中引入了：波长与波线这两个物理量，和波矢与波阵面这两个概念。 波长与波阵面 —— 是用来在实空间中对波的空间周期性进行具体描述的物理量。 波矢 —— 是在 k 空间中用来对波动的周期性进行具体描述的物理量。 c) 这两种对波动的周期性进行描述的方法，在不同场合的应用会给我们对波动问题的讨论带来方便。 波长与波阵面的描述直观形象，是对空间周期性的几何描述。而波矢是直接出现在波动方程之中给与波动有关的代数描述和运算带来方便 a) 借助对波动这一具有空间周期性特点的典型问题的经验，在对晶体结构问题的讨论中，我们也可以引入了两种表述方式 。 实空间的表述方式 —— 正格子。 k 空间的表述方式 —— 倒格子。 b) 倒格子的引入，对与固体物理有关问题的讨论具有重要的意义： 固体物理问题中的一个重要的范式 —— 周期结构中的波。 在很多固体物理具体问题的讨论中，波矢 k 往往是一个好的量子数 —— 这就使得在倒格子空间讨论问题往往会更方便。 即使是在对晶体结构的研究中也与对波动问题的讨论有密切的关系：如X射线的衍射与晶体结构问题的研究。 —— 倒格子的使用也会带来很多便利。 （2）固体物理中空间的周期性是晶体结构的基本特点： 二、布里渊区： 1、布里渊区： 在倒格子中，取某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直平分面将把倒格子空间分割成许多包围原点的多面体。 （1）离原点最近的多面体区域称为第一布里渊区。 （2）离原点次近的多面体与第一布里渊区表面之间的区域称为第二布里渊区。 以此类推，可得第三、第四等各个布里渊区。这些布里渊区的各部分也都是以原点为中心对称的。 由定义可知：第一布里渊区实际上就是倒格子中的维格纳 – 赛茨原胞。它的形状是围绕原点中心对称的。 可以证明：每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的体积，也就是每个倒格点所占有的体积。 k是倒格子空间的矢量，满足该式的k的端点均落在G的垂直平分面上。所以，只要给定G，就可由上式确定相应的布里渊区界面。 证明：