利用导数证明不等式的几种方法.PDF

利用导数证明不等式的几种方法 郭家勇 (江苏连云港师范高等专科学校数学系 江苏 ·连云港 222006) 中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672—7894(2012)18—0107—02 摘 要 本文介绍 了高等数学中利用导数这个工具证明不 () (1)=O，从[fflf(x)~xl时递增，有xl时 () (1) 等式的一些常用的方法 = 0，从而命题得证。 关键词 不等式 导数 极值 3利用极值的单峰原理证明不等式 、 SeveralM ethodsofUsingDerivativestoProveInequa- 若函数厂()在 (b)内可导且有唯一的极值大(小)点 li ／／GuoJiayong 则‰为f(x)的最大(小)值点，则有不等式对于一切的 AbstractThispaper introduces some common methodsof (喁6)，有不等式f(x)≤，(o) () (o))，我们称之为 usingderivativestoproveinequalityinadvancedmathematics． 极值的单峰原理。利用单峰原理可以对有唯一的一个极值 Key words inequality；derivatives；extremevalue 点的函数来证明不等式。 Author’S address Depa~mentofMathematics，Lianyungang 例3：证明e ≥ +1 Teacher。SCollege，222006，Lianyungangdiangsu，China 证 明：设f(x)=．ex--x一1，∈(--00，+∞)，厂()=e*-l=O，解 得 =O ’ 证明不等式是高等数学中的一个重要内容 ，证明不等 厂( =ex，，(o)=eD_10，从而x=0为． ，()的唯一的极小 式的方法有很多，利用导数这个工具证明不等式是一个很 值点，由单峰原理x=0为 )的最小值点，从而有对于一切 有效的工具，在高等数学中利用导数证明不等式也是导数 一 个非常重要的应用，是一个重要的知识点，也是各类考试 的 ，有 )≥，(0)=0，从而不等式得证。 高频考点之一。其中常用的方法有 ：应用微分中值定理，应 例4：证明不等式生 ，∈0， ) 仃 彳r 用函数的单调性，应用极值的单峰原理 ，求连续函数在闭区 间上的最大最小值及函数的凹凸性等这些方法来证明不等 证明：先证不等式sinxx，∈(0，生)。 仃 式。