21空间距离(二).doc

精锐教育学科教师辅导讲义 课 题 空间距离 教学目标 1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法 重点、难点 1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法 考点及考试要求 1 理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念会用求距离的常用方法 教学内容 　　 1点到平面的距离：已知点是平面外的任意一点，过点作，垂足为，则唯一，则是点到平面的距离 即 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离 结论：连结平面外一点与内一点所得的线段中，垂线段最短 2 异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线． 3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线 4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段； 5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条； 6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度 说明：两条异面直线的距离即为直线到平面的距离即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离 7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离) 8．两个平行平面的公垂线、公垂线段： （1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线 （2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段 （3）两个平行平面的公垂线段都相等 （4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长 9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离 10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求 10用向量法求距离的公式： ⑴异面直线之间的距离： ，其中 ⑵直线与平面之间的距离： ，其中是平面的法向量 ⑶两平行平面之间的距离： ，其中是平面的法向量 ⑷点A到平面的距离： ，其中，是平面的法向量 另法：点平面 则 ⑸点A到直线的距离： ，其中，是直线的方向向量 ⑹两平行直线之间的距离： ，其中，是的方向向量 二、题型讲解 例1 设A（2,3,1），B（4,1,2），C（6,3,７），D（－５,－4,8），求D到平面ABC的距离 点评： 求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标(两种方法)，再求出已知点P与平面内任一点M构成的向量的坐标，那么P到平面的距离d=|||cos〈，〉 例2 如图所求，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点 求：（1）与所成的角； （2）P点到平面EFB的距离； （3）异面直线PM与FQ的距离 例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线BD与B1C的距离 三、小结： 1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的连线在法向量上的射影长即得也就是若是平面的法向量，为平面内的一点，则点到平面的距离为： 2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若是与异面直线都垂直的向量，点，则异面直线与之间的距离： 3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解 四、学生练习 1ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为 A B C D1 2在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是 A13 B11 C9 D7 3在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 A a B a C a D a