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信息学竞赛中问题求解常见题分析（四） （排列组合问题） 一、知识点： 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn。种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn。种不同的方法。 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N=m1*m2*…mn。种不同的方法。 排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。 排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m，n∈N，m≤n) 阶乘：n!表示正整数l到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!=l。 排列数的另一个计算公式： 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示． 组合数公式：，或 (n，m∈N，且m≤n) 组合数的性质1：，规定：：=1； 2：。 圆排列 由A{a1，a2，a3．．an}的n个元素中，每次取出r个元素排在一个圆环上，叫一个圆排列(或叫环状排列)。 圆排列有三个特点：(i)无头无尾；(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列；(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同时，才是不同的圆排列． 定理：在A={a1，a2，a3．．an}的n个元素中，每次取出r个不同的元素进行圆排列，圆排列数为。 可重排列允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列。在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二……第n位是的选取元素的方法都是m种，所以从m个不同的元素中，每次取出n个元素的可重复的排列数为时mn。 不尽相异元素的全排列如果n个元素中，有p1个元素相同，又有p2个元素相同，…，又有ps个元素相同(p1+p2+…+ps≤n)，这n个元素全部取的排列叫做不尽相异的n个元素的全排列，它的排列数是 。 二、解题思路： 排列组合题的求解策略 排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略。 分类与分步：有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理。 对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数。 插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间。 捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其他“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列。 隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型。如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为．，这也就是方程a+b+c+d=12的正整数解的个数。 解排列组合问题：首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑是“有序的”还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法。 三、讲解范例： 1．相邻问题——整体捆绑法 例1. 7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起，有多少不同排法? 解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有=1440种。 捆绑法：要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题．即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也可以作排列．一般地：n个人站成一排，其中某m个人相邻，可用捆绑法解决，共有种排法。 练习：5个男生3个女生排成一排，3个女生要排在一起，有多少种不同的排法? 分析：此题涉及到的是排队问题，对于女生有特殊的限制，因此，女生是特殊元素，并且要求她们要相邻，因此可以将她们看成是一个元素来解决问题。 解：因为女生要排在一起，所以可以将3个