奥数竞赛专题讲座08几何变换.docVIP

竞赛专题讲座08 －几何变换 【竞赛知识点拨】 一、 平移变换 1．　 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘ 。 2．　 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。 二、 轴对称变换 1．　 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘ 。 2．　 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。 三、 旋转变换 1．　 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’ 。 其中α0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α0时，为逆时针方向。 2． 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。 四、 位似变换 1．　 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 =k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘ 。 其中k0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。 2．　 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心。 【竞赛例题剖析】 【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。 求证：∠PBA=∠PDA。 【分析】作变换△ABP△DCP’， 则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。 ∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。 【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。 求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ△COA‘。 【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。 ∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’Ｓ△OPQ= 【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。 【分析】取AC、BD的中点E、F，令ACA‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。 ∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。 ∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。 同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。 故当四边形为平行四边形时，周长最小。 【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。 【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理） 【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。 又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’ =∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。 ∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。 【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识） 【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。  【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是