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奥数竞赛专题讲座08几何变换
竞赛专题讲座08
-几何变换
【竞赛知识点拨】
一、 平移变换
1. 定义 设是一条给定的有向线段,T是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X‘,使得=,则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’,图形FF‘ 。
2. 主要性质 在平移变换下,对应线段平行且相等,直线变为直线,三角形变为三角形,圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。
二、 轴对称变换
1. 定义 设l是一条给定的直线,S是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X’,使得X与X‘关于直线l对称,则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’,图形FF‘ 。
2. 主要性质 在轴对称变换下,对应线段相等,对应直线(段)或者平行,或者交于对称轴,且这两条直线的夹角被对称轴平分。
三、 旋转变换
1. 定义 设α是一个定角,O是一个定点,R是平面上的一个变换,它把点O仍变到O(不动点),而把平面图形F上任一点X变到X’,使得OX‘=OX,且∠XOX’=α,则R叫做绕中心O,旋转角为α的旋转变换。记为XX‘,图形FF’ 。
其中α0时,表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向;α0时,为逆时针方向。
2. 主要性质 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角。
四、 位似变换
1. 定义 设O是一个定点,H是平面上的一个变换,它把平面图形F上任一点X变到X‘,使得 =k·,则H叫做以O为位似中心,k为位似比的位似变换。记为XX’,图形FF‘ 。
其中k0时,X’在射线OX上,此时的位似变换叫做外位似;k0时, X‘在射线OX的反向延长线上,此时的位似变换叫做内位似。
2. 主要性质 在位似变换下,一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上,且保持顺序,即共线点变为共线点,共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值,对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行,即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆,且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。
【竞赛例题剖析】
【例1】P是平行四边形ABCD内一点,且∠PAB=∠PCB。
求证:∠PBA=∠PDA。
【分析】作变换△ABP△DCP’,
则△ABP≌△DCP‘,∠1=∠5,∠3=∠6。由PP’ADBC,ADPP‘、PP’CB都是平行四边形,知∠2=∠8,∠4=∠7。由已知∠1=∠2,得∠5=∠8。
∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7,即∠3=∠4。
【例2】“风平三角形”中,AA’=BB‘=CC’=2,∠AOB‘=∠BOC’=60°。
求证:S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘。
【分析】作变换△A’OC△AQR‘,△BOC’△B‘PR’‘,则R’、R‘’重合,记为R。P、R、Q共线,O、A、Q共线,O、B‘、P共线,△OPQ为等边三角形。
∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’S△OPQ=
【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中,试求周长最小的四边形。
【分析】取AC、BD的中点E、F,令ACA‘C’,则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。
∵E是AC的中点且EF∥CC’,FC‘∥EC,∴F、C’分别为AG、CG的中点。
∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。
同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。
故当四边形为平行四边形时,周长最小。
【评注】当已知条件分散,尤其是相等的条件分散,而又不容易找出证明途径,或题目中有平行条件时,将图形的某一部分施行平移变换,常常十分凑效。
【例4】P是⊙O的弦AB的中点,过P点引⊙O的两弦CD、EF,连结DE交AB于M,连结CF交AB于N。求证:MP=NP。(蝴蝶定理)
【分析】设GH为过P的直径,FF’F,显然‘∈⊙O。又P∈GH,∴PF’=PF。∵PFPF‘,PAPB,∴∠FPN=∠F’PM,PF=PF‘。
又FF’⊥GH,AN⊥GH,∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’
=∠EFF‘+∠EDF’=180°,∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠PDE=∠PFN。
∴△PFN≌△PF‘M,PN=PM。
【评注】一般结论为:已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P,过P作两条相交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N,已知OP=r,P到AB中点的距离为a,则。(解析法证明:利用二次曲线系知识)
【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆,试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R,使得△PQR的周长为最小。
【分析】在圆O上任取一点P0,令P0P1,P0P2,连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是
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