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奥数第三讲点共线、线共点
第三讲 点共线、线共点
在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
1. 点共线的证明
点共线的通常证明方法是:通过邻补角关系证明三点共线;证明两点的连线必过第三点;证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。
例1 如图,设线段AB的中点为C,以AC和CB为对角线作平行四边形AECD,BFCG。又作平行四边形CFHD,CGKE。求证:H,C,K三点共线。
证 连AK,DG,HB。
由题意,ADECKG,知四边形AKGD是平行四边形,于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形,其对角线AB,KH互相平分。而C是AB中点,线段KH过C点,故K,C,H三点共线。
例2 如图所示,菱形ABCD中,∠A=120°,O为△ABC外接圆,M为其上一点,连接MC交AB于E,AM交CB延长线于F。求证:D,E,F三点共线。
证 如图,连AC,DF,DE。
因为M在O上,
则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB,
有△AMC∽△ACF,得
。
又因为∠AMC=BAC,所以△AMC∽△EAC,得
。
所以,又∠BAD=∠BCD=120°,知△CFD∽
△ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC,所以∠ADF=∠DFB=∠ADE,于是F,E,D三点共线。
例3 四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E,F。求证:P,E,F三点共线。
证 如图。
连接PQ,并在PQ上取一点M,使得
B,C,M,P四点共圆,连CM,PF。设PF与圆的另一交点为E’,并作QG丄PF,垂足为G。易如
QE2=QM·QP=QC·QB ①
∠PMC=∠ABC=∠PDQ。
从而C,D,Q,M四点共圆,于是
PM·PQ=PC·PD ②
由①,②得
PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB,
即PQ2=QC·QB+PC·PD。
易知PD·PC=PE’·PF,又QF2=QC·QB,有
PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2,
即PE’·PF=PQ2-QF2。又
PQ2-QF2=PG2-GF2=(PG+GF)·(PG-GF)
=PF·(PG-GF),
从而PE’=PG-GF=PG-GE’,即GF=GE’,故E’与E重合。
所以P,E,F三点共线。
例4 以圆O外一点P,引圆的两条切线PA,PB,A,B为切点。割线PCD交圆O于C,D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点,求证:A,F,E三点共线。
证 如图,连AF,EF,OA,OB,OP,BF,OF,
延长FC交BE于G。
易如OA丄AP,OB丄BP,
OF丄CP,所以P,A,F,O,B
五点共圆,有∠AFP=∠AOP=∠POB=
∠PFB。
又因CD∥BE,所以有
∠PFB=∠FBE,∠EFD=∠FEB,
而FOG为BE的垂直平分线,故EF=FB,∠FEB=∠EBF,
所以∠AFP=∠EFD,A,F,E三点共线。
2. 线共点的证明
证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点),或证明第3条直线通过另外两条直线的交点,也可转化成点共线的问题给予证明。
例5 以△ABC的两边AB,AC向外作正方形ABDE,ACFG。
△ABC的高为AH。求证:AH,BF,CD交于一点。
证 如图。延长HA到M,
使AM=BC。连CM,BM。
设CM与BF交于点K。
在△ACM和△BCF中,
AC=CF,AM=BC,
∠MAC+∠HAC=180°,
∠HAC+∠HCA=90°,
并且∠BCF=90°+∠HCA,
因此∠BCF+∠HAC=180°
∠MAC=∠BCF。
从而△MAC≌△BCF,∠ACM=∠CFB。
所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°,
即 BF丄MC。
同理CD丄MB。AH,BF,CD为△MBC的3条高线,故AH,BF,CD三线交于一点。
例6 设P为△ABC内一点,∠APB-∠ACB=∠APC-∠ABC。又设D,E分别是△APB及△APC的内心。证明:AP,BD,CE交于一点。
证 如图,过P向三边作垂线,垂足分别为R,S,T。
连RS,ST,RT,设BD交AP于M,CE交AP于N。
易知P,R,A,S;P,T,B,R;
P,S,C,T分别四点共圆,则
∠APB-∠ACB=∠PAC+∠PBC
=∠PRS+∠PRT
=∠SRT。
同理,∠APC-∠ABC=∠RST,
由条件知∠SRT=∠RST,所以RT=ST。
又RT=PBsinB,ST=PC
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