奥数第三讲点共线、线共点.docVIP

第三讲 点共线、线共点 在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。 1. 点共线的证明 点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线；证明两点的连线必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。n(n≥4)点共线可转化为三点共线。 例1 如图，设线段AB的中点为C，以AC和CB为对角线作平行四边形AECD，BFCG。又作平行四边形CFHD，CGKE。求证：H，C，K三点共线。 证 连AK，DG，HB。 由题意，ADECKG，知四边形AKGD是平行四边形，于是AKDG。同样可证AKHB。四边形AHBK是平行四边形，其对角线AB，KH互相平分。而C是AB中点，线段KH过C点，故K，C，H三点共线。 例2 如图所示，菱形ABCD中，∠A=120°，O为△ABC外接圆，M为其上一点，连接MC交AB于E，AM交CB延长线于F。求证：D，E，F三点共线。 证 如图，连AC，DF，DE。 因为M在O上， 则∠AMC=60°=∠ABC=∠ACB， 有△AMC∽△ACF，得 。 又因为∠AMC=BAC，所以△AMC∽△EAC，得 。 所以，又∠BAD=∠BCD=120°，知△CFD∽ △ADE。所以∠ADE=∠DFB。因为AD∥BC，所以∠ADF=∠DFB=∠ADE，于是F，E，D三点共线。 例3 四边形ABCD内接于圆，其边AB与DC的延长线交于点P，AD与BC的延长线交于点Q。由Q作该圆的两条切线QE和QF，切点分别为E，F。求证：P，E，F三点共线。 证 如图。 连接PQ，并在PQ上取一点M，使得 B，C，M，P四点共圆，连CM，PF。设PF与圆的另一交点为E’，并作QG丄PF，垂足为G。易如 QE2=QM·QP=QC·QB ① ∠PMC=∠ABC=∠PDQ。 从而C，D，Q，M四点共圆，于是 PM·PQ=PC·PD ② 由①，②得 PM·PQ+QM·PQ=PC·PD+QC·QB， 即PQ2=QC·QB+PC·PD。 易知PD·PC=PE’·PF，又QF2=QC·QB，有 PE’·PF+QF2=PD·PC+QC·AB=PQ2， 即PE’·PF=PQ2-QF2。又 PQ2－QF2=PG2－GF2=(PG+GF)·(PG－GF) =PF·(PG－GF)， 从而PE’=PG－GF=PG－GE’，即GF=GE’，故E’与E重合。 所以P，E，F三点共线。 例4 以圆O外一点P，引圆的两条切线PA，PB，A，B为切点。割线PCD交圆O于C，D。又由B作CD的平行线交圆O于E。若F为CD中点，求证：A，F，E三点共线。 证 如图，连AF，EF，OA，OB，OP，BF，OF， 延长FC交BE于G。 易如OA丄AP，OB丄BP， OF丄CP，所以P，A，F，O，B 五点共圆，有∠AFP=∠AOP=∠POB= ∠PFB。 又因CD∥BE，所以有 ∠PFB=∠FBE，∠EFD=∠FEB， 而FOG为BE的垂直平分线，故EF=FB，∠FEB=∠EBF， 所以∠AFP=∠EFD，A，F，E三点共线。 2. 线共点的证明 证明线共点可用有关定理(如三角形的3条高线交于一点)，或证明第3条直线通过另外两条直线的交点，也可转化成点共线的问题给予证明。 例5 以△ABC的两边AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG。 △ABC的高为AH。求证：AH，BF，CD交于一点。 证 如图。延长HA到M， 使AM=BC。连CM，BM。 设CM与BF交于点K。 在△ACM和△BCF中， AC=CF，AM=BC， ∠MAC+∠HAC=180°， ∠HAC+∠HCA=90°， 并且∠BCF=90°+∠HCA， 因此∠BCF+∠HAC=180° ∠MAC=∠BCF。 从而△MAC≌△BCF，∠ACM=∠CFB。 所以∠MKF=∠KCF+∠KFC=∠KCF+∠MCF=90°， 即 BF丄MC。 同理CD丄MB。AH，BF，CD为△MBC的3条高线，故AH，BF，CD三线交于一点。 例6 设P为△ABC内一点，∠APB－∠ACB=∠APC－∠ABC。又设D，E分别是△APB及△APC的内心。证明：AP，BD，CE交于一点。 证 如图，过P向三边作垂线，垂足分别为R，S，T。 连RS，ST，RT，设BD交AP于M，CE交AP于N。 易知P，R，A，S；P，T，B，R； P，S，C，T分别四点共圆，则 ∠APB－∠ACB=∠PAC+∠PBC =∠PRS+∠PRT =∠SRT。 同理，∠APC－∠ABC=∠RST， 由条件知∠SRT=∠RST，所以RT=ST。 又RT=PBsinB，ST=PC