复旦20002006自主招生数学试题.docVIP

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科） 一、填空题（每小题10分，共60分） 1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．＝______________． 3．＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x,y满足关系式x2(xy(4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________． 6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分） 1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn． 2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明． 3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于，求该棱锥的体积．() 4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．求证：这四个点组成一个矩形． 5．设，其中xn,yn为整数，求n→∞时，的极限． 6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论． 复旦大学2001年选拔生考试数学试题 一、填空(每小题5分，共45分) 1．sinx(siny(0，则cos2x(sin2y(___________________． 2．平面(1, (2成(的二面角，平面(1中的椭圆在平面(2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为__________． 3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y(________________________． 4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002(83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0(______________． 6．的常数项为_________________． 7．＝__________________． 8．空间两平面(,(，是否一定存在一个平面均与平面(,(垂直？___________． 9．在△ABC中，cos(2A(C)＝cos(2C(B)，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分) 1．求解：cos3xtan5x＝sin7x． 2．数列3，3(lg2，…,3((n(1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？ 3．求证：x∈R时，|x(1|≤4|x3(1|． 4．a为何值时，方程有解？只有一解？ 5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？ 6．x3-2y3＝1的所有整数解(x,y)，试证明：． 2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题 2003.1.4 一、填空题（本大题共40分，每题4分） 1．三次多项式f(x)满足f(3)＝2f(1)，且有两个相等的实数根2，则第三个根为___________． 2．用长度为12的篱笆围成四边形，一边靠墙，则所围成面积S的最大值是_______________． 3．已知，x+2y＝1，则的最小值是______________． 4．有4个数，前3个成等比数列，后3个成等差数列，首末两数和为32，中间两数和为24，则这四个数是___________________． 5．已知f(x)(ax7+bx5+x2+2x(1，f(2)((8，则f((2)(_______________． 6．投三个骰子，出现三个点数的乘积为偶数的概率是_______________． 7．正四面体的各个面无限延伸，把空间分为________________个部分． 8．有n个元素的集合分为两部分，空集除外，可有___________种分法． 9．有一个整数的首位是7，当7换至末位时，得到