圆锥曲线与方程复习与小结.docVIP

选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 小结与复习(学案) 【知识归类】 1．曲线与方程 ⑴曲线上的点与二元方程的实数解建立如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解； ②以上这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. ⑵求曲线的方程的一般步骤①建系；②设点；③列方程；④化简；⑤检查. 2．圆锥曲线的定义 ⑴平面内满足的点的轨迹叫做椭圆，定义可实现椭圆上的点到两焦点的距离的相互转化. ⑵平面内满足的点的轨迹叫做双曲线，表示焦点对应的一支，定义可实现双曲线上的点到两焦点的距离的相互转化. ⑶平面内与一个顶点与一条定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定义可实现抛物线上的点到焦点与到准线距离的相互转化. 3.圆锥曲线的标准方程 椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程.根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式. 4.圆锥曲线的简单几何性质 ⑴圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件. ⑵双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同. ⑶椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点 ⑷椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴. ⑸圆锥曲线中基本量的几何意义及相互转化. 6.直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的公共点个数等于由它们的方程构成的方程组解的个数. ⑵直线与椭圆有一个公共点，直线与椭圆相切，但直线与双曲线、抛物线不一定相切，双曲线与平行于渐近线的直线，抛物线与平行（重合）于轴的直线，都只有一个公共点但不相切. 7.直线与圆锥曲线相交的弦长 ⑴求弦长的方法是将直线与圆锥曲线的方程联立后，求出两点坐标，利用两点间距离公式，常用的方法是结合韦达定理，如直线与圆锥曲线相交于两点，弦长. ⑵过抛物线焦点的弦长问题结合定义来解决能化简计算. 8.元圆锥曲线有关的“中点弦” 弦的中点坐标与斜率可由曲线方程得到关系，此法称为“点差法”，灵活运用科简化计算，但要以直线与曲线相交为前提，即消元后的方程判别式大于零. 9.当直线过轴上的点时，设直线方程为与抛物线方程联立消元后的方程较简。但这种形式的直线方程不包含斜率为零的情况. 【题型归类】 题型一：圆锥曲线定义的应用 例2已知抛物线，过焦点的弦为，且=8，求中点的横坐标. 变式练习2：已知点,动点满足,当点的纵坐标是时，点到坐标原点的距离是 . 题型二：求动点的轨迹方程 例1在中，已知,当动点满足条件时，求动点的轨迹方程. 变式练习1：在中，已知，且三内角、、满足，建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程. 题型三：考查直线与圆锥曲线相交的弦长、中点 例4：顶点在原点，焦点在轴上的抛物线截得直线所得的弦长的长为，求抛物线方程. 变式训练4：过点作直线与双曲线交于两点，且点位线段的中点，则直线的方程是 . 题型四:考查直线与圆锥曲线位置关系 例3：已知双曲线与点，求过点的直线的斜率的取值范围，使分别有一个交点，两个交点，没有交点. 变式训练3：直线与抛物线的公共点个数是（ ）. （A） （B） （C） 可能为 题型五：圆锥曲线综合问题 例5：在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围. 变式训练5：求实数的取值范围，使抛物线上存在两点关于直线对称. 【思想方法】 1.数学思想：数形结合、方程思想、分类讨论思想等 2.数学方法: ⑴求动点轨迹方程中的定义法、待定系数法，求离心率中整体换元法、分离变量法等； ⑵直线与圆锥曲线相交中点弦中“点差法”，求参数范围中的不等式法. 1.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是其左、右焦点，若，则 ( ). (A) 或 (B) (C ) (D) 2.椭圆的离心率为是它的一个焦点，则椭圆内接正方形的面积是（ ）. （A） （B） （C） （D） 3.若双曲线的渐近线的方程为则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）. (A) （B） (C) (D) 4.设是等腰三角形，，则以为焦点且过点的双曲线的离心率为（ ）. （A） （B） （C） （D） 6.过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 . 7.已知，是椭圆上一动点，线段的垂直平分线于，则动点的轨迹方程为 .