向量的基本定理和坐标运算.docVIP

(一)平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使，那么其中和就叫做平面内的一对基底向量。 理解：1.其中，是在同一平面内的不共线的向量（非零向量） 2.有且只有一对实数对 3.对于平面中两个向量相等的应用即如果，那么有 2.向量共线 含义：方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，也叫平行向量。和任意向量共线 向量共线的数量表示：如果和非零向量共线，那么有且只有一个实数使得 当时，和非零向量同向 当时，和非零向量反向 当时，是 当时，= 当时，和互为相反向量 共线判定定理：如果（），那么 共线性质定理：如果而且，那么有且只有一个实数使得 例题1：判断正误并说明原因 （1）平面内任意两个不共线的向量都可以做为基底向量 （2）可以表示平面内的所有向量 （3）若存在实数使得，那么 （4）若向量和共线，那么有且只有一个实数使得=（） 例题2：已知o是平行四边形对角线的交点，则下列向量组中可以作为这个平行四边形所在平面的基底向量的是 与 (2) （3） （4） 例题3：在三角形ABC中，O是边BC的中点。如果，请用和来表示. 例题4：已知非零向量，不共线 如果=+，=2+8，=3（-），求证A、B、C三点共线 欲使k+和+k共线，试确定k的值 例题5：已知G是三角形ABC的中心，试证明 练习： 1.在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、 分别为a、b，则=（ ） A．a-b B．a+b C．-a+b D．-a-b P是三角形ABC所在平面内一点，若,其中为任意实数，则点P一定在（ ）A.三角形ABC内部 B.AC边所在直线上C.AB边所在直线上 D.BC边所在直线上 3.设O在三角形ABC内部，且有，那么和的面积之比是  4.O是平面内一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足,,则P的轨迹一定通过的（ ） A.外心 B.内心 C.中心 D.垂心 D是中BC边的一点，且,设，则等于 已知平行四边形ABCD中，，其对角线交与点O，则等于 7.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m ＝ 　 ． 8.在四边形ABCD中，其中不共线，则四边形ABCD是 A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ． （二）向量的正交分解以及坐标表示 1.向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个单位向量、作为基为基底。 对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得。这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。 2.几个特殊向量的坐标表示 =，=，= 3.两个向量和差的坐标运算 已知：，为一实数，则=。=。 即两个向量和（差）的坐标分别等于相对的横纵坐标和差。 4.数乘向量和坐标运算：= 5.向量的坐标表示：若已知,，则== 6.两向量平行（共线）的坐标表示 设，其中则等价于。 7.两向量数量积的坐标表示 设，则， 如果，那么等价于 模长的计算：，那么== 例题1：在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则=________，=________。 例题2：若点A的坐标是，向量的坐标为，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 例题3：已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系. 例题4：若平面向量与向量平行，且，则( ) A B C D 或 例题5：一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是（5，7），（－3，5），（3，4），则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A、（－1，8） B，（－5，2） C、（1l，6） D、（5，2） 例题6：已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及=+t，求： （1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限? （2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请