专题3二次函数在闭区间上的最值.docVIP

专题三 二次函数在闭区间最值问题 基础知识： 二次函数在闭区间上的最值问题，需要结合图象讨论二次函数的开口方向，对称轴与给定闭区间的关系。 例1.已知函数 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数。 解析：（1），，开口向上，对称轴， ； （2）依题意对称轴不在区间内，故时，在上单调，。 例2.已知在区间内有最大值，求的值。 解析：对称轴，二次函数开口向下。数形集合。 当，即时，，得(舍)或； 当，即时，，得(舍)或(舍)； 当，即时，得。综上。。。 注记： 例3.已知函数，若 求函数的最小值的解析式； 求的单调区间和最值。 解析：（1）的对称轴为，开口向上 当时，即时，， 当时，对称轴在区间左边，在区间单增， 当，即时，同理在区间单减， 综上所述， （2）的单调递减区间单调递减区间时， 例4.已知函数，若时，求函数f（x）的最值。 分析：由于对称轴是确定的，所以只要根据对称轴x=1与区间[t，t+2]的三种位置关系进行讨论，就容易求出最值。 解：函数f（x）图象的对称轴为直线x=1 （1）当，即时 （2）当，即 （3）当即 , （4）当t1时， 设函数最大值记为，最小值记为， 则有 例5.已知二次函数（为常数，且）满足条件，且方程有等根。 求的解析式； 是否存在实数，使定义域和值域分别为和，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。 解析：（1）由知,由于任意，得； 方程有等根，得，从而，故。 值域为即，抛物线对称轴。时，在上为增函数。若满足题设条件的存在，则 即即 又，这时定义域为值域为 综上，存在满足题意。 例6.若函数在区间上的最大值为14，求的值。 解析： 1)当时，令，则在单增， 则看成是关于的二次函数，开口向上，对称轴为 因在上单增， 即解得（舍）或； 2)当时，同理，令可得在单增， 即，解得（舍）或； 综上所述，或。 注记：其实这里用到了复合函数的单调性。其实也可以直接说明，时，和均单增，故单增，；同理时，。 例7.已知，求函数的最大值及取得最大值时的的值。 解析：由得，，即， 得函数的定义域，， 即，令，由得 ，当时，，此时，得时，。 例8.已知且， （1）求的取值范围 ∴ 4分 （2）由（1） 得 5分 = 7分 ∴. 10分 当，当： 12分 例9.设，函数的最大值是1，最小值是，求值。 解析： 由题设，，这时，又， 是关于的二次函数，函数最大值必在或时取得。 若，则，又取得最小值时由得这时，舍去。 若，则，又取得最小值时 由得符合题意。综上所述。 例10．（07福建）设函数． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范围． 例11 设函数，若定义域为，值域为，求的值. 例12. 已知二次函数(是常数，）满足条件：且方程有两个相等的实数根。 （1）求的解析式； （2）是否存在实数，使的定义域和值域分别是和，如存在，求的值，如不存在，说明理由. 1